[論文レビュー] Geometric Structures of Collapsing Riemannian Manifolds I

Aaron Naber, Gang Tian|ArXiv.org|Apr 14, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有界断面曲率下での崩壊するリーマン多様体の特異点集合の鋭いハウスドルフ次元の上限を確立し、非オービフォールド点の集合の次元が常に min{n−5, dimX−3} 以下であることを証明している。n ≤ 4 の場合、極限空間は滑らかなリーマン型オービフォールドであり、これを四次元アインシュタイン多様体に適用することで、−dist⁻² の曲率下限を満たす有限個の点を除き、オービフォールドであることを示している。

ABSTRACT

Let (M^n_i,g_i,p_i) be a sequence of smooth pointed complete n-dimensional Riemannian Manifolds with uniform bounds on the sectional curvatures and let (X,d,p) be a metric space such that (M^n_i,g_i,p_i) -> (X,d,p) in the Gromov-Hausdorff sense. Let O \subseteq X be the set of points x \in X such that there exists a neighborhood of x which is isometric to an open set in a Riemannian orbifold and let B = O^c be the complement set. Then we have the sharp estimates dim_Haus(B) \leq min{n-5, dim_Haus(X)-3}, and further for arbitrary x \in X we have that x \in O iff a neighborhood of x has bounded Alexandroff curvature. In particular, if n \leq 4 then B is empty and (X,d) is a Riemannian orbifold. Our main application is to prove that a collapsed limit of Einstein four manifolds has a smooth Riemannian orbifold structure away from a finite number of points, and that near these points the curvatures has a -dist^{-2} lower bound.

研究の動機と目的

• 有界曲率下での崩壊するリーマン多様体の列のグロモフ＝ハウスドルフ極限の計量的オービフォールド構造を理解すること。
• 極限空間の点が、リーマン型オービフォールドに等長な近傍を持つための条件を特定すること。
• 特に低次元において、崩壊極限における特異点の構造を分類すること。
• 結果を、特に4次元アインシュタイン多様体のモジュライ空間のコンパクト化に応用すること。

提案手法

• 一様な断面曲率および高階曲率微分の有界性を満たすn次元リーマン多様体の列のグロモフ＝ハウスドルフ極限を分析する。
• C^{k+1,α}-オービフォールド点の集合Oとその補集合B（非オービフォールド点）を導入し、Bのハウスドルフ次元を研究する。
• [1]、[2]、[19] のメトリック近似結果を用いて、リッチ曲率の有界性や共役半径の有界性など、より弱い曲率仮定の下でも結果を拡張する。
• [11] のε-正則性推定を用いて、崩壊するアインシュタイン4次元多様体における曲率の発散を制御する。
• 群作用および反射群の技法を用いて、崩壊に伴い生じる局所群作用を分類し、反射部分群の共軛性を証明する。
• オービフォールド正則部分集合からの等長写像をR^n上のアフィン写像に持ち上げることで、ホロノミー群の共軛性を示し、したがってオービフォールド構造の同型性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 崩壊するリーマン多様体の列のグロモフ＝ハウスドルフ極限における点が、リーマン型オービフォールドに等長な近傍を持つための条件は何か？
• RQ2 極限空間において、局所的にリーマン型オービフォールドに等長でない点の集合の最大可能なハウスドルフ次元は何か？
• RQ3 有界曲率および高階微分係数の有界性があると、極限空間の正則性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 アインシュタイン4次元多様体の崩壊極限における特異点集合は制御可能か？また、特異点付近での曲率挙動は予想されるか？
• RQ5 崩壊列の群作用および階層的幾何学から、極限空間のオービフォールド構造をどの程度回復できるか？

主な発見

• 極限空間Xにおける非オービフォールド点の集合Bのハウスドルフ次元は、常に min{n−5, dimX−3} 以下である。
• n ≤ 4 ならば、B は空集合であり、したがって極限空間 (X,d) は C^{k+1,α} リーマン型オービフォールドである。
• 崩壊するアインシュタイン4次元多様体に対しては、極限空間は有限個の点を除き滑らかなリーマン型オービフォールドである。
• 4次元アインシュタイン崩壊におけるこれらの孤立した特異点の近傍では、曲率が −dist⁻² のオーダーの下限を満たす。
• 点に C^{k+1,α} オービフォールド構造が存在することは、有界な階層的曲率を持つ近傍が存在することと同値である。
• 極限空間は明確なハウスドルフ次元を有し、オービフォールド構造はホロノミー群の共軛類および反射部分群によって決定される。