[論文レビュー] Geometric structures on contactomorphism groups and contact rigidity in jet spaces

Frol Zapolsky|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Legendrianの生成関数を用いて、$J^1N$ および $T^*N \times S^1$ の接触同相群に内在的な双不変部分順序および整数値距離を確立する。接触剛性の結果を証明する：特定の部分集合 $X \times S^1$ は、接触ホモトピーによってゼロ切断から分離できない。また、ハミルトニアンに移動可能な台を持つ可換な接触同相の積は、スペクトル不変量と部分準準同型 $\nu$ を用いて制限を受ける。主な貢献は、順序論的および距離構造を通じて、接触剛性の幾何的・力学的理解を新たに得ることにある。

ABSTRACT

For a closed connected manifold N, we establish the existence of geometric structures on various subgroups of the contactomorphism group of the standard contact jet space J^1N, as well as on the group of contactomorphisms of the standard contact T*N imes S^1 generated by compactly supported contact vector fields. The geometric structures are biinvariant partial orders (for J^1N and T*N imes S^1) and biinvariant integer-valued metrics (T*N imes S^1 only). Also we prove some forms of contact rigidity in T*N imes S^1, namely that certain (possibly singular) subsets of the form X imes S^1 cannot be disjoined from the zero section by a contact isotopy, and in addition that there are restrictions on the kind of contactomorphisms of T*N imes S^1 which are products of pairwise commuting contactomorphisms generated by vector fields supported in sets of the form U imes S^1 with U \subset T*N Hamiltonian displaceable. The method is that of generating functions for Legendrians in jet spaces.

研究の動機と目的

• 接触同相群の部分群に、双不変部分順序および整数値距離という内在的な幾何的構造を構成すること。$J^1N = T^*N \times \mathbb{R}$ および $V = T^*N \times S^1$ を対象とする。
• 接触同相の力学的性質とそのスペクトル不変量を分析することで、ジュースト空間における接触剛性理論を拡張すること。
• 特定の部分集合 $X \times S^1 \subset T^*N \times S^1$ が、$X$ がスーパー重いという条件下で、接触ホモトピーによってゼロ切断から分離できないことを証明すること。
• コンパクト台付き接触ベクトル場によって生成される、互いに可換な要素の積として表される接触同相に、制限を課すこと。その台はハミルトニアンに移動可能な集合に含まれる。

提案手法

• ジュースト空間におけるLegendrianの生成関数を用いて、接触ハミルトニアンに関連するスペクトル不変量を定義・分析する。
• 群の構造を保ち、共役に関して不変である部分準準同型 $\nu$ を $\operatorname{Cont}_{0,c}(V)$ 上に導入する。これはスペクトル不変量の均質化として定義される。
• スペクトル不変量 $\ell_{\pm}$ 及びその均質化を用いて、$\operatorname{Cont}_{0,c}(V)$ 上に整数値距離 $\nu$ を導出し、単調性や共役不変性などの性質を満たす。
• ハミルトニアンのプリクアンタライゼーションを用いて、$T^*N$ 上のハミルトニアンのスペクトルデータを $T^*N \times S^1$ 上の接触ハミルトニアンに持ち上げ、ハミルトニアンと接触力学の関係を結ぶ。
• 接触ハミルトニアンがゼロ切断から離れて支持されている場合、そのスペクトル不変量は消えるため、$\nu(\phi_H) = 0$ となる。この事実を用いて剛性結果を証明する。
• 部分集合 $X \subset T^*N$ のスーパー重さの性質を用いて、$X$ の近傍に支持されるハミルトニアン $H$ に対して $\nu(\phi_H) = 1$ を示し、分離可能性を仮定すると矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触同相群の部分群 $J^1N$ および $T^*N \times S^1$ に、自然な双不変部分順序を定義できるか？
• RQ2 接触同相群 $T^*N \times S^1$ に双不変な整数値距離を備えているか？ もしそうなら、その構成法は何か？
• RQ3 $X \subset T^*N$ がスーパー重い場合、$T^*N \times S^1$ 内の $X \times S^1$ は接触ホモトピーによってゼロ切断から分離可能か？
• RQ4 ハミルトニアンに移動可能な集合に台を持つベクトル場によって生成される、互いに可換な要素の積として表される接触同相には、どのような制限が存在するか？
• RQ5 接触ハミルトニアンのスペクトル不変量は、その力学的性質および接触同相群上の幾何的構造とどのように関係するか？

主な発見

• $\operatorname{Cont}_0(J^1N)$, $\operatorname{Cont}_{0,c}(J^1N)$, および $\operatorname{Cont}_0^\mathbb{Z}(J^1N) \simeq \operatorname{Cont}_{0,c}(T^*N \times S^1)$ は、それぞれ接触ホモトピー正性によって誘導される自然な双不変部分順序 $\leq$, $\leq_c$, $\leq^\mathbb{Z}$ を持つ。
• $\operatorname{Cont}_{0,c}(T^*N \times S^1)$ は、接触ハミルトニアンのスペクトル不変量の均質化として構成される双不変な整数値距離 $\nu$ を備える。
• $X \subset T^*N$ がスーパー重く、$H$ が $X$ の近傍に支持される接触ハミルトニアンであれば、$\nu(\phi_H) = 1$ となる。このことは、$X \times S^1$ がゼロ切断から分離可能であると仮定すると矛盾を引き起こす。
• ゼロ切断から離れて支持される接触同相は $\nu(\phi_H) = 0$ であり、この性質は共役および積に関して保存される。
• 接触ハミルトニアン $H$ が $T^*N \times S^1$ のゼロウォール上で $H \geq c > 0$ を満たすならば、$\nu(\phi_H) \geq 1$ となる。これは、このようなフローが距離 $\nu$ において自明でないことを示し、ハミルトニアンに移動可能な台を持つ可換なフローへの分解が制限されることを意味する。
• 部分準準同型 $\nu$ は、$H$ が $T^*N$ 上のハミルトニアン $h$ のプリクアンタライゼーションであるとき、$\nu(\phi_H) = \mu(\phi_h)$ を満たす。これにより、接触とハミルトニアンのスペクトル不変量が結びつけられる。