[論文レビュー] Geometric structures on Lie groups with flat bi-invariant metric

Vicente Cortés, Lars Schäfer|ArXiv.org|Jul 31, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2段階可解な単純連結な平坦なほぼ（パラ-）ケーラー多様体を、平坦な双不変な擬リーマン計量を備えた2段階可解なリー群を用いて分類する。このような多様体は、J² = ±Id を満たす歪対称自己準同型 J に関して型 (3,0)+(0,3) で、補空間が自己同型である3次ベクトル η ∈ Λ³L から生じ、ほぼケーラーまたはほぼパラケーラー構造をもたらす。主な貢献は完全な分類である：すべてのこのような多様体は、ある η ∈ Λ³L に対して局所的に L(η) に同型であり、η が有理数係数を持つ場合には格子を介してコンパクトで非一様な例が存在する。

ABSTRACT

Let L\subset V=\bR^{k,l} be a maximally isotropic subspace. It is shown that any simply connected Lie group with a bi-invariant flat pseudo-Riemannian metric of signature (k,l) is 2-step nilpotent and is defined by an element η\in Λ^3L\subset Λ^3V. If ηis of type (3,0)+(0,3) with respect to a skew-symmetric endomorphism J with J^2=\e Id, then the Lie group {\cal L}(η) is endowed with a left-invariant nearly Kähler structure if \e =-1 and with a left-invariant nearly para-Kähler structure if \e =+1. This construction exhausts all complete simply connected flat nearly (para-)Kähler manifolds. If η eq 0 has rational coefficients with respect to some basis, then {\cal L}(η) admits a lattice Γ, and the quotient Γ\setminus {\cal L}(η) is a compact inhomogeneous nearly (para-)Kähler manifold. The first non-trivial example occurs in six dimensions.

研究の動機と目的

• 平坦な双不変な擬リーマン計量を備えたリー群の幾何的構造を用いて、すべての完全で単純連結な平坦なほぼ（パラ-）ケーラー多様体を分類すること。
• 平坦な双不変な擬リーマン計量を備えたリー群が左不変なほぼ（パラ-）ケーラー構造をもつための条件を特定すること。
• 定義する3次ベクトルが有理数係数を持つ場合に、これらのリー群における格子を用いて、コンパクトで非一様なほぼ（パラ-）ケーラー多様体を構成すること。
• η ∈ Λ³L が型 (3,0)+(0,3) であるような構成が、すべての完全で単純連結な平坦なほぼ（パラ-）ケーラー多様体を尽くすことを示すこと。

提案手法

• 補空間 L ⊂ V = ℝ^{k,l} が最大自己同型であるような 3次ベクトル η ∈ Λ³V を用いて、2段階可解なリー群 L(η) を構成する。
• η が補空間を持つことにより、L(η) に平坦な双不変な擬リーマン計量 h を定義し、V の計量の符号型と一致させる。
• J² = -Id または +Id を満たす V 上の歪対称自己準同型 J を導入し、L(η) 上にほぼ（パラ-）複素構造 J を定義する。
• η が J に関して型 (3,0)+(0,3) であることを仮定することで、ほぼ（パラ-）複素構造がほぼ（パラ-）ケーラー構造と整合することを保証する。
• η が有理数係数を持つ場合に L(η) に格子 Γ が存在することを用い、商 Γ\L(η) を構成することで、コンパクトで非一様なほぼ（パラ-）ケーラー多様体を得る。
• 任意の完全で単純連結な平坦なほぼ（パラ-）ケーラー多様体が、ある η ∈ Λ³L に対して局所的に L(η) に同型であることを証明し、完全な分類を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦な双不変な擬リーマン計量を備えた単純連結なリー群が左不変なほぼ（パラ-）ケーラー構造をもつための必要十分条件は何か。
• RQ2 リー群の幾何的構造を用いて、すべての完全で単純連結な平坦なほぼ（パラ-）ケーラー多様体をどのように分類できるか。
• RQ3 リー群 L(η) の格子 Γ による商がコンパクトで非一様なほぼ（パラ-）ケーラー多様体となる条件は何か。
• RQ4 同型に関して、このような平坦なほぼ（パラ-）ケーラー多様体のモジュライ空間は何か。また、GL(n) の作用による3次ベクトルの軌道空間としてどのようにパrameter化されるか。

主な発見

• すべての完全で単純連結な平坦なほぼ（パラ-）ケーラー多様体は、左不変なほぼ（パラ-）ケーラー構造と平坦な双不変な計量を備えたリー群 L(η) として生じる。
• 構成は包括的である：すべてのこのような多様体は、ある J に関して J² = ±Id を満たし、補空間が自己同型で型 (3,0)+(0,3) である η ∈ Λ³L に対して局所的に L(η) に同型である。
• η が基底に関して有理数係数を持つ場合、L(η) は格子 Γ を持ち、商 Γ\L(η) はコンパクトで非一様なほぼ（パラ-）ケーラー多様体である。
• 非自明な最初のコンパクト例は6次元で発生し、J の+1固有空間 V⁺ ⊂ ℝ^{3,3} における非ゼロの η ∈ Λ³V⁺ から生じる。
• タイプ (p,q) の平坦なほぼパラケーラー多様体のモジュライ空間は、L = L⁺ + L⁻ が τ-不変な最大自己同型部分空間であるとき、Λ⁻_{reg}L / GL(p) × GL(q) に同型である。
• 分類により、任意のこのような多様体は、平坦なパラケーラー因子 ℝ^{l,l} と符号型 (m,m) (m ≥ 3) の厳密なほぼパラケーラー因子の擬リーマン計量的積であることが示される。