[論文レビュー] Geometric structures on nilpotent Lie groups: on their classification and a distinguished compatible metric

Jorge Lauret|ArXiv.org|Oct 9, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、可換幾何構造（例えば、シンプレクティック、複素構造、ハイパーカンプレクティック）を備えたノルム的リー群に最小互換リーマン計量の概念を導入する。固定されたスカラー曲率のもとで、不変リッチテンソルのノルムを最小化することで、最小計量が等長変換およびスケーリングを除き一意に定まり、変分問題の臨界点であり、不変リッチフローのソリトン解に対応することを証明する。この手法は、モーメント写像と幾何的不変理論を用いて、半代数的商と不変多項式を介してこのような構造を分類する。

ABSTRACT

Let N be a nilpotent Lie group and let S be an invariant geometric structure on N (cf. symplectic, complex or hypercomplex). We define a left invariant Riemannian metric on N compatible with S to be "minimal", if it minimizes the norm of the invariant part of the Ricci tensor among all compatible metrics with the same scalar curvature. We prove that minimal metrics (if any) are unique up to isometry and scaling, they develop soliton solutions for the invariant Ricci flow and are characterized as the critical points of a natural variational problem. The uniqueness allows us to distinguish geometric structures with Riemannian data, giving rise to a great deal of invariants. Our approach proposes to vary Lie brackets and our main tool is the moment map for the action of a reductive Lie group on the algebraic variety of all Lie algebras, which we show to coincide with the Ricci operator. We therefore can use strong results from geometric invariant theory to study compatible metrics and the moduli space of isomorphism classes of geometric structures.

研究の動機と目的

• ノルム的リー群に与えられた不変幾何的構造と互換な標準的リーマン計量を特定すること。
• 固定されたスカラー曲率のもとで、不変リッチテンソルのノルムを最小化する「最良」計量—すなわち最小計量を定義し、特徴づけること。
• 同型写像を除く幾何的構造の分類を、特徴的なリーマン的データを用いて行うこと。
• 最小計量が等長変換およびスケーリングを除き一意に定まり、自然な変分問題の臨界点であることを確立すること。
• このような構造のモジュライ空間を、再帰的群作用のカテゴリカル商に同相な半代数的多様体の直和として表現すること。

提案手法

• 固定されたスカラー曲率のもとで、$\|\operatorname{ric}^\gamma_{\langle\cdot,\cdot\rangle}\|^2$ を最小化する計量を最小計量として定義する。
• リー代数の集合への再帰的リー群の作用におけるモーメント写像を用い、この文脈ではこれがリッチ作用素に一致することを示す。
• 幾何的不変理論の強力な結果を応用して、幾何的構造のモジュライ空間の構造を分析する。
• 最小計量を、リッチテンソルとスカラー曲率を含む変分問題の臨界点として特徴づける。
• 最小計量が不変リッチソリトンであることを示し、正規化された不変リッチフローがその等長変換類を変化させないことを示す。
• 同型類の幾何的構造のモジュライ空間を、再帰的群作用のカテゴリカル商に同相な半代数的多様体の直和として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノルム的リー群に与えられた不変幾何的構造と互換な標準的リーマン計量は何か？
• RQ2 このような構造に対して一意で特徴的な計量を定義できるか。もし可能であれば、どのような条件下で可能か？
• RQ3 ノルム的リー群における同型類の幾何的構造のモジュライ空間は、どのように分類できるか？
• RQ4 最小計量と不変リッチフローの関係は何か？
• RQ5 不変多項式を用いて、ノルム的リー群上の幾何的構造をどのように区別できるか？

主な発見

• 任意のクラス-γ ノルム的リー群で、このような計量が存在する場合には、最小計量は等長変換およびスケーリングを除き一意に定まる。
• 最小計量は、固定されたスカラー曲率のもとで、関数 $\|\operatorname{ric}^\gamma_{\langle\cdot,\cdot\rangle}\|^2$ の臨界点であり、変分的意味で最適である。
• 最小計量は不変リッチソリトンである。つまり、正規化された不変リッチフローはその等長変換類を保存する。
• 最小互換計量を備える幾何的構造の同型類のモジュライ空間は、再帰的群作用のカテゴリカル商に同相な半代数的多様体の直和として表せる。
• このような構造は不変多項式によって区別可能であり、強力な代数的分類ツールを提供する。
• リー代数の集合への再帰的群の作用におけるモーメント写像は、この文脈ではリッチ作用素に一致する。これにより、幾何的不変理論の応用が可能になる。