[論文レビュー] Geometric Thermodynamical Formalism and Real Analyticity for Meromorphic Functions of Finite Order

Volker Mayer, Mariusz Urbański|ArXiv.org|Jun 13, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、導関数の成長を制御するように調整されたリーマン計量を導入することで、有限位数の双曲的メラモーフィック関数に対する幾何的熱力学的形式主義を構築する。これにより、等角的およびギブス測度の構成が可能となり、径路的ジュリア集合のハウスドルフ次元がパラメータに関して実解析的であることが示される。主な結果として、周期的系を超えて、指数関数、楕円関数、コサインルート関数などの非周期的超越関数に対しても熱力学的形式主義が拡張されることを示している。

ABSTRACT

Working with well chosen Riemannian metrics and employing Nevanlinna's theory, we make the thermodynamical formalism work for a wide class of hyperbolic meromorphic functions of finite order (including in particular exponential family, elliptic functions, cosine, tangent and the cosine--root family and also compositions of these functions with arbitrary polynomials). In particular, the existence of conformal (Gibbs) measures is established and then the existence of probability invariant measures equivalent to conformal measures is proven. As a geometric consequence of the developed thermodynamic formalism, a version of Bowen's formula expressing the Hausdorff dimension of the radial Julia set as the zero of the pressure function and, moreover, the real analyticity of this dimension, is proved.

研究の動機と目的

• 周期的でない、有限位数の双曲的メラモーフィック関数へ熱力学的形式主義を拡張すること。
• 従来の方法が周期性または商空間の簡略化を要していたという制限を克服すること。
• 幾何的計量アプローチを用いて、複素平面の上に直接等角的およびギブス測度の存在を確立すること。
• パラメータに関して径路的ジュリア集合のハウスドルフ次元の実解析的性質を証明すること。
• 指数関数、楕円関数、コサインルート関数の多様な超越関数を、同一の形式主義で統一的に取り扱うこと。

提案手法

• 導関数の成長に合わせて調整されたリーマン計量 $ d\tau = (1 + |z|^{\alpha_2})^{-1} |dz| $ を導入する。
• ネヴァンリンナ理論を用いて、ポテンシャル $ -t \log |f'(z)|_\sigma $ に関連するペロン＝フロベニウス＝ルエル作用素 $ \mathcal{L}_t $ を制御する。
• 導関数 $ |f'(z)|_\sigma = |f'(z)| \cdot \frac{\gamma \circ f(z)}{\gamma(z)} $ を定義し、$ \gamma(z) = (1 + |z|^{\alpha_2})^{-1} $ とすることで、動的システムが適切に定義されることを保証する。
• $ \lambda |f'|_\sigma^t $-等角的測度 $ m_t $ およびそれに関連するギブス状態 $ \mu_t $ の存在と一意性を証明し、両者とも径路的ジュリア集合に台を持つことを示す。
• $ J(f) $ 上で、Radon-Nikodym 微分 $ \psi = d\mu_t / dm_t $ の連続性と有界性を確立する。
• 解析的族におけるコンパクト性と一様性の議論を適用し、パラメータ変動下での次元の実解析的性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 商空間の簡略化なしに、周期的でない双曲的メラモーフィック関数の有限位数へ熱力学的形式主義を拡張できるか？
• RQ2 超越関数族におけるパラメータ変動に伴い、径路的ジュリア集合のハウスドルフ次元が解析的に変化するか？
• RQ3 ペロン＝フロベニウス作用素が適切に定義され、圧力関数が意味を持つように、幾何的リーマン計量を構成可能か？
• RQ4 このような関数に対して、等角的およびギブス測度が一意に存在し、径路的ジュリア集合に台を持つか？
• RQ5 導関数の成長に関するどのような条件が、圧力関数および関連測度の収束性と正則性を保証するか？

主な発見

• 任意の $ t > \rho / \alpha $ に対して、トポロジカル圧力 $ \text{P}(t) $ が存在し、$ w \in J(f) $ に依存しない。これにより、圧力関数が適切に定義される。
• 一意な $ \lambda |f'|_\sigma^t $-等角的測度 $ m_t $ が存在し、$ \lambda = e^{\text{P}(t)} $ を満たす。また、$ m_t $ に同値な一意の確率測度としてのギブス状態 $ \mu_t $ が存在し、これは $ f $-不変かつエルゴード的である。
• $ J(f) $ 上で、Radon-Nikodym 微分 $ \psi = d\mu_t / dm_t $ は連続的かつ有界である。これにより、不変測度の強い正則性が確認される。
• 径路的ジュリア集合 $ \mathcal{J}_r(f) $ のハウスドルフ次元は、圧力関数 $ \text{P}(t) $ の唯一の零点に等しく、ボウイングの公式のバージョンが実現される。
• 解析的関数族において、関数 $ \lambda \mapsto \text{HD}(\mathcal{J}_r(\lambda f)) $ は $ \lambda = 1 $ の近傍で実解析的である。ただし、族が一様にバランスが取れている（$ \alpha_2 \geq 1 $）ことが条件である。
• 実解析的性質は、$ \alpha_2 > 0 $ の族に対しても拡張可能であり、主パラメータが固定されている場合には導関数の条件が簡略化される。