[論文レビュー] Geometric variants of the Hofer norm

Dusa McDuff|ArXiv.org|Mar 14, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$S^2$ 上のファイバードシンプレクティックファイブレーションを用いて一方向のセミノルムを定義する、シンプレクティック多様体のハミルトニアン群におけるホーファーノルムの幾何的変種を導入する。$C^2$位相で恒等写像に十分近い要素について、同じホモトピー類に限らず、すべての経路の中でホーファーノルムが最小長を達成することを証明し、真の測地線の存在を確立する。主な貢献は、短いループによって生成されるファイブレーションに対する重み付きノンスケーリング定理であり、これにより、$\mathbb{C}P^n$ や弱正確な多様体などの特定の場合においてセミノルムの非退化性が示される。

ABSTRACT

This note discusses some geometrically defined seminorms on the group $\Ham(M, ω)$ of Hamiltonian diffeomorphisms of a closed symplectic manifold $(M, ω)$, giving conditions under which they are nondegenerate and explaining their relation to the Hofer norm. As a consequence we show that if an element in $\Ham(M, ω)$ is sufficiently close to the identity in the $C^{2}$-topology then it may be joined to the identity by a path whose Hofer length is minimal among all paths, not just among paths in the same homotopy class relative to endpoints. Thus, true geodesics always exist for the Hofer norm. The main step in the proof is to show that a "weighted" version of the nonsqueezing theorem holds for all fibrations over $S^2$ generated by sufficiently short loops.Further, an example is given showing that the Hofer norm may differ from the sum of the one sided seminorms.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン群 $\mathrm{Ham}(M,\omega)$ における幾何的に定義されたセミノルム、特にホーファーノルムの一方向および二方向の変種を調査すること。
• これらのセミノルムが非退化となる条件、特にホーファーノルムとの関係において特定すること。
• ホーファーノルムに対して真の測地線が存在することを、$C^2$-位相で恒等写像に近い経路を分析することで確立すること。
• 短いループによって生成される $S^2$ 上のファイブレーションに対して、修正されたセイデル表現を用いて重み付きノンスケーリング定理を拡張すること。
• ホーファーノルムと一方向セミノルムの和との比較を行い、それらが異なることがあることを示すこと。

提案手法

• ホーファー経路 $\mathrm{id}$ から $\phi$ への経路に関する $\mathcal{L}^+(H_t)$ および $\mathcal{L}^-(H_t)$ の最小値として、一方向セミノルム $\rho^+(\phi)$ と $\rho^-(\phi)$ を定義する。ここで $\mathcal{L}^\pm$ は平均値からの正負の偏差を測る。
• 量子ホモロジー環を解析し、ファイブレーション内に非自明なホロモーフィック曲線を検出するために、$\pi_1(\mathrm{Ham}) \to (QH_{\mathrm{ev}}(M))^\times$ への修正セイデル表現 $\Psi$ を用いる。
• 短いループによって生成されるシンプレクティックファイブレーション $P \to S^2$ に対して、チャーン類の制約により特定のセクション類が存在できないことを示すことにより、ファイブレーションの重み付きノンスケーリング定理の証明を行う。
• グロモフコンパクトネスとホロモーフィック曲線解析を用いて、垂直チャーン数が負であるホロモーフィック代表元が排除されることを示し、セミノルムの非退化性を証明する。
• 量子コホモロジーにおける評価論を用いて、特にパrameter $a$ を持つ $M_* = \mathbb{C}P^2 \# \overline{\mathbb{C}P}^2$ の場合に $\rho^+(k\alpha)$ および $\rho^-(k\alpha)$ をバウンドする。
• 明示的な例を構成することで、ホーファーノルムが一方向セミノルムの和 $\rho^+(\phi) + \rho^+(\phi^{-1})$ と異なることがあることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的変種のホーファーノルムが非退化となる条件は何か？
• RQ2 ホーファーノルムに対して真の測地線が存在するか、すなわち同じホモトピー類に限らず、すべての経路の中で最小ホーファー長を達成する経路が存在するか？
• RQ3 $S^2$ 上のファイブレーションに対して、短いループによって生成される場合の重み付きノンスケーリング定理は成り立つか？
• RQ4 修正セイデル表現は非自明なシンプレクティックファイブレーションをどのように検出し、ホロモーフィック曲線の挙動をどのように制約するか？
• RQ5 ホーファーノルムは一方向セミノルムの和 $\rho^+(\phi) + \rho^+(\phi^{-1})$ と異なることがあるか？

主な発見

• $C^2$-位相で恒等写像に十分近い任意の $\mathrm{Ham}(M,\omega)$ の元について、同じホモトピー類に限らず、すべての経路の中でホーファー長が最小となる経路が存在し、真の測地線の存在が証明される。
• $\rho_f$（一方向セミノルムの和として定義される）は常に非退化であるが、和 $\rho^+(\phi) + \rho^+(\phi^{-1})$ は $M = \mathbb{C}P^n$ または弱正確な多様体などの特別な条件下でのみ非退化である。
• $S^2$ 上のファイブレーションに対して、短いループによって生成される場合に重み付きノンスケーリング定理が成り立ち、セミノルムの非退化性を証明するために不可欠である。
• $M_* = \mathbb{C}P^2 \# \overline{\mathbb{C}P}^2$ とシンプレクティック形式 $\omega_a$ に対して、ループ $2\alpha$ の最小長は $\pi(1 - a^2)$ に一致し、これは $\omega(F)$ に一致する。この値はハミルトニアンループによって達成される。
• $k \to \infty$ のときの一方の成長率 $\ell^+(k\alpha)/k$ は、下から $\frac{(1 - a^2)^2}{12(1 + a^2)}$ でバウンドされ、$a < 1$ に対して非自明な下界を与える。一方、$k \to -\infty$ の場合、同様のバウンドは得られない。
• ホーファーノルム $\rho(\phi)$ は、一方向セミノルムの和 $\rho^+(\phi) + \rho^+(\phi^{-1})$ と異なることがある。$M_*$ 上の例により、両者の値が等しくないことが示された。