[論文レビュー] Geometrical and analytical characteristic properties of piecewise affine mappings

Valentin V. Gorokhovik|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2011

Optimization and Variational Analysis参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限次元ノルム空間間の区分的アフィン写像の幾何学的および解析的特徴付けを確立する。写像が区分的アフィンであるための必要十分条件として、任意の多面的順序に関してその上図と下図が $X \times Y$ 内の凸多面体集合の有限個の和集合であることを示し、このような写像がすべてのアフィン写像を含む最小のベクトル部分ラティスをなすこと、およびアフィン成分によるミニマックス表現を持つことを示す。

ABSTRACT

Let X and Y be finite dimensional normed spaces, F(X,Y) a collection of all mappings from X into Y. A mapping $P\in F(X,Y)$ is said to be piecewise affine if there exists a finite family of convex polyhedral subsets covering X and such that the restriction of $P$ on each subset of this family is an affine mapping. In the paper we prove a number of characterizations of piecewise affine mappings. In particular we show that a mapping $P: X o Y$ is piecewise affine if and only if for any partial order $\preceq$ defined on Y by a polyhedral convex cone both the $\preceq$-epigraph and the $\preceq$-hypograph of P can be represented as the union of finitely many convex polyhedral subsets of $X imes Y$. When the space Y is ordered by a minihedral cone or equivalently when Y is a vector lattice the collection F(X,Y) endowed with standard pointwise algebraic operations and the pointwise ordering is a vector lattice too. In the paper we show that the collection of piecewise affine mappings coincides with the smallest vector sublattice of F(X,Y) containing all affine mappings. Moreover we prove that each convex (with respect to an ordering of Y by a minihedral cone) piecewise affine mapping is the least upper bound of finitely many affine mappings. The collection of all convex piecewise affine mappings is a convex cone in F(X,Y) the linear envelope of which coincides with the vector subspace of all piecewise affine mappings.

研究の動機と目的

• 写像の上図と下図の幾何的性質を用いて、区分的アフィン写像を特徴付けること。
• すべてのアフィン写像を含む空間のすべての写像の空間における最小のベクトル部分ラティスとして、区分的アフィン写像の集合が成立することを確立すること。
• 凸区分的アフィン写像の解析的表現を、有限個のアフィン写像の上限として与えること。
• 局所凸位相における連続写像空間において、区分的アフィン写像が稠密であることを示すこと。
• 結果を区分的線形写像に拡張し、ラティス演算を用いた表現を示すこと。

提案手法

• 定義：定義域空間を有限個の凸多面体部分集合に分割し、各部分でアフィンである写像を区分的アフィン写像と定義する。
• 有限個の閉半空間の共通部分集合および和集合として表される多面体集合を用い、定義域構造を特徴付ける。
• 多面的凸錐によって誘導されるコドメイン上の部分順序を導入し、その順序に関する写像の上図と下図を分析する。
• 写像 $P$ が区分的アフィンであるための必要十分条件として、任意の順序 $\preceq$ に対して、$P$ の $\preceq$-上図と $\preceq$-下図が $X \times Y$ 内の凸多面体集合の有限個の和集合であること、を証明する。
• $Y$ がベクトルラティス（最小化可能な錐によって順序づけられる）であるとき、区分的アフィン写像の集合が、すべてのアフィン写像を含む最小のベクトル部分ラティスに一致することを確立する。
• ミニマックス表現を導出する：$P(x) = \inf_i \sup_j A_{ij}(x)$ および $P(x) = \sup_j \inf_i A_{ij}(x)$ において、$A_{ij}$ はアフィン写像である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像 $P: X \to Y$ が多面的順序 $\preceq$ に関して、その上図と下図の性質を用いて、いつ区分的アフィン写像とみなせるか？
• RQ2 写像集合のラティス内での代数的特徴付けとして、区分的アフィン写像をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 凸区分的アフィン写像と有限個のアフィン写像の上限の関係は何か？
• RQ4 任意の連続写像は、コンパクト集合上で一様近似可能か？
• RQ5 ラティス演算と線形成分を用いた場合、区分的線形写像の同値な特徴付けは何か？

主な発見

• 写像 $P: X \to Y$ が区分的アフィンであるための必要十分条件は、$Y$ 内の多面的凸錐によって誘導される任意の部分順序 $\preceq$ に対して、$P$ の $\preceq$-上図と $\preceq$-下図が $X \times Y$ 内の凸多面体集合の有限個の和集合であることである。
• $Y$ がベクトルラティス（最小化可能な錐によって順序づけられる）であるとき、区分的アフィン写像の集合は、$\mathcal{F}(X,Y)$ の最小のベクトル部分ラティスであり、すべてのアフィン写像を含む。
• 任意の凸区分的アフィン写像 $P: X \to Y$ は、有限個のアフィン写像の上界（上限）として表現可能である。
• すべての凸区分的アフィン写像の集合は、線形スパンが区分的アフィン写像全体のベクトル空間に一致する凸錐をなす。
• 任意の連続写像 $F: X \to Y$ とコンパクト集合 $Q \subset X$ に対して、任意の $\epsilon > 0$ に対して、$\|F(x) - P(x)\|_Y < \epsilon$ をすべての $x \in Q$ で満たす区分的アフィン写像 $P$ が存在する。これは、局所凸位相における稠密性を示す。
• 区分的線形写像は、$P(x) = \inf_i \sup_j L_{ij}(x)$ または $P(x) = \sup_j \inf_i L_{ij}(x)$ として表され、$L_{ij}$ は線形写像である。このような写像は、正Homogeneousな連続写像の空間において稠密な部分空間をなす。