[論文レビュー] Geometrical and fractal properties of a class of systems with spiral trajectories in R^3

Luka Korkut, Domagoj Vlah+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、R^3におけるらせん軌道のフラクタル幾何学を、無限大における解の挙動を測る指標としての振動次元および位相次元を導入することで調査する。HölderまたはLipschitzな曲面上に存在する空間的らせん軌道のボックス次元を、対応する平面第二階微分方程式の位相次元を用いて計算し、ポアンカレ写像の漸近挙動と関連づけ、極限周期分岐における低次元正準形に対して明示的なボックス次元を導出する。

ABSTRACT

Here we study a class of second-order nonautonomous differential equations, and the corresponding planar and spatial systems, from the point of view of fractal geometry. The fractal oscillatority of solutions at infinity is measured by oscillatory and phase dimensions. The oscillatory dimension is defined as the box dimension of the reflected solution near the origin, while the phase dimension is defined as the box dimension of a trajectory of the corresponding planar system in the phase plane. Using the phase dimension of the second-order equation we compute the box dimension of a spiral trajectory of the spatial system, lying in Lipschitzian or H olderian surfaces. This phase dimension of the second-order equation is connected to the asymptotics of the associated Poincare map. Also, the box dimension of a trajectory of the reduced normal form with one eigenvalue equals to zero, and a pair of pure imaginary eigenvalues has been computed when limit cycles bifurcate from the origin.

研究の動機と目的

• 三次元空間におけるらせん軌道のフラクタル幾何学を次元論的道具を用いて分析すること。
• 解の無限大における振動挙動を測る指標としての振動次元および位相次元を定義し、その計算を行うこと。
• 平面第二階系の位相次元と、HölderまたはLipschitzな曲面上に存在する空間的らせん軌道のボックス次元との関係を確立すること。
• ポアンカレ写像の漸近的挙動と、軌道のフラクタル次元との関係を明らかにすること。
• 極限周期分岐の過程で、1つの固有値が0で、純虚数固有値の対を持つ低次元正準形における軌道のボックス次元を計算すること。

提案手法

• 原点付近の反転解のボックス次元として振動次元を定義する。
• 対応する平面第二階系における位相平面における軌道のボックス次元として位相次元を定義する。
• 位相次元を用いて、HölderまたはLipschitzな曲面上に存在するR^3内のらせん軌道のボックス次元を計算する。
• 位相次元と第二階微分方程式に関連するポアンカレ写像の漸近的挙動とを関連付ける。
• 1つの固有値が0で、純虚数固有値の対を持つ低次元正準形を解析し、極限周期分岐の過程での軌道のボックス次元を計算する。
• 特にボックス次元を用いたフラクタル幾何学的手法を応用し、無限大における解の振動的・幾何的複雑性を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HölderまたはLipschitzな曲面上に存在するR^3内のらせん軌道のフラクタル次元は何か？ そして、その平面系の位相次元とはどのように関係しているか？
• RQ2 第二階非斉次系の位相次元は、そのポアンカレ写像の漸近挙動とどのように関係するか？
• RQ3 極限周期分岐の過程で、1つの固有値が0で、純虚数固有値の対を持つ低次元正準形における軌道のボックス次元は何か？
• RQ4 振動次元および位相次元は、無限大における解のフラクタル的振動性をどのように定量的に測るか？
• RQ5 対応する平面系の位相平面力学から、空間的らせん軌道のボックス次元を計算できるか？

主な発見

• 平面第二階系の位相次元が、HölderまたはLipschitzな曲面上に存在する空間的らせん軌道のボックス次元を決定づける。
• 位相次元はポアンカレ写像の漸近的挙動と関連づけられ、フラクタル次元の動的解釈を提供する。
• 1つの固有値が0で、純虚数固有値の対を持つ低次元正準形において、極限周期分岐の過程での軌道のボックス次元が明示的に計算された。
• 原点付近の反転解のボックス次元として定義される振動次元は、無限大におけるフラクタル的振動性の測度を提供する。
• 曲面が滑らかでない場合でも、R^3内のらせん軌道のボックス次元は、平面系の位相次元を用いて有限かつ計算可能である。
• 本研究の結果は、軌道のフラクタル幾何学と系の動的性質との間の直接的な関連を確立しており、特にポアンカレ写像の漸近挙動を通じて示される。