[論文レビュー] Geometrical aspects of contact mechanical systems and field theories

Xavier Rivas Guijarro|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2022

Dynamics and Control of Mechanical Systems被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、接触構造およびk-接触構造を用いて、散逸的力学系および場の理論の幾何学的枠組みを構築する。これは、保存的系におけるシンプレクティックおよびk-シンプレクティック形式の一般化である。k-接触系におけるスキンナー＝ルスク形式を導入し、オイラー＝ラグランジュ方程式およびハミルトニアン方程式を導出する。また、減衰振動子や減衰電磁波などの具体例に理論を適用し、力学および場の理論における散逸の一貫した幾何学的記述を確立する。

ABSTRACT

Many important theories in modern physics can be stated using differential geometry. Symplectic geometry is the natural framework to deal with autonomous Hamiltonian mechanics. This admits several generalizations for nonautonomous systems, both regular and singular. Some of these extensions are the subject of this thesis. Recently there has been a growing interest in studying dissipative mechanical systems from a geometric perspective using contact geometry. In this thesis we review what has been done in this topic and go deeper, studying symmetries and dissipated quantities of contact systems, and developing the Skinner-Rusk formalism for these systems. With regard to classical field theory, we introduce the notion of k-precosymplectic manifold and use it to give a geometric description of singular nonautonomous field theories. We also devise a constraint algorithm for these systems. Field theories with damping are described through a modification of the De Donder-Weyl Hamiltonian field theory. This is achieved by combining contact geometry and k-symplectic structures, resulting in the k-contact formalism. We introduce two notions of dissipation laws, generalizing the concept of dissipated quantity. These developments are also applied to Lagrangian field theory. The Skinner-Rusk formulation for k-contact systems is described in detail and we show how to recover the Lagrangian and Hamiltonian formalisms from it. Throughout the thesis we present several examples in mechanics and field theory. The most remarkable mechanical examples are the damped harmonic oscillator, the motion in a gravitational field with friction, the parachute equation and the damped simple pendulum. In field theory, we study the damped vibrating string, the Burgers' equation, the Klein-Gordon equation and its relation with the telegrapher's equation, and the Maxwell's equations with dissipation.

研究の動機と目的

• 保存的でない系のための統一的幾何形式の欠如に応じ、接触幾何学を用いて幾何力学を散逸的系へ拡張すること。
• スキンナー＝ルスク形式をk-接触系へ一般化し、散逸が存在する状況下でのラグランジュ形式とハミルトニアン形式の統合的記述を実現すること。
• 散逸を伴う特異的非自己同型場理論のためのk-予コサイクル制約アルゴリズムを開発すること。
• 接触幾何学とk-シンプレクティック構造を組み合わせたk-接触形式を導入し、散逸的場理論のモデル化を可能とすること。
• 接触系およびk-接触系における散逸則と対称性を定義・分析し、保存量を散逸的状況へ一般化すること。

提案手法

• 接触多様体およびk-接触構造を用いて、散逸的力学系をモデル化し、保存的系におけるシンプレクティック幾何学の一般化を実現する。
• 拡張されたポンツリャーギンバンドル上に予接触の標準構造を導入し、スキンナー＝ルスク形式を適用して運動方程式を導出する。
• 特異的非自己同型場理論における散逸を記述する幾何学的枠組みとして、k-予コサイクル幾何学を導入する。
• 減衰を伴う特異的場理論の取り扱いを可能とする、k-予コサイクル系の制約アルゴリズムを開発する。
• デ・ドンデル＝ヴァイエル理論と接触幾何学を組み合わせ、場理論におけるk-接触形式を構築する。
• 保存量の概念を散逸的系へ一般化する2つの新しい散逸則の概念を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触幾何学を、対称性および保存／散逸量を伴う散逸的力学系に体系的に適用する方法は何か？
• RQ2 k-接触系におけるスキンナー＝ルスク形式の正しい幾何学的定式化は何か？ また、この形式はどのようにしてラグランジュ形式とハミルトニアン形式の両方を回復するのか？
• RQ3 k-予コサイクル構造は、減衰を伴う特異的非自己同型場理論をどのように記述できるか？
• RQ4 k-接触系における対称性の役割は何か？ また、散逸量とどのように関係するか？
• RQ5 k-接触形式は場理論へ拡張可能か？ また、減衰を伴う波動方程式やマクスウェル方程式のような散逸的場方程式をどのように記述するか？

主な発見

• k-接触系におけるスキンナー＝ルスク形式は、ラグランジュ形式およびハミルトニアン形式を効果的に回復し、散逸的運動の統一的幾何的記述を提供する。
• k-予コサイクル制約アルゴリズムが開発され、アフィン的および二次的ラグランジアンを含む特異的場理論に適用され、散逸的場系における制約解析を可能にする。
• k-接触形式は、減衰する弦、バーガース方程式、散逸を伴うマクスウェル方程式を含む場理論に成功裏に適用され、エネルギー損失の一貫した幾何的モデル化を示している。
• 保存量の概念を散逸的系へ一般化する2つの新しい散逸則の概念が導入され、エネルギー減少型不変量の同定を可能にする。
• 詳細な具体例（減衰振動子、減衰振り子、クライン＝ゴルドン方程式／トランジスタ回路方程式）を通じて理論が検証され、形式の予測力が示された。
• k-接触形式は、場理論におけるエルグルォッツ型変分原理の幾何的基盤を提供し、特異的散逸的場理論のためのマルチコンタクト形式への道筋を示唆する。