[論文レビュー] Geometrical Formulation of Quantum Mechanics

Abhay Ashtekar, Troy A. Schilling|ArXiv.org|Jun 23, 1997

Quantum Mechanics and Applications参考文献 18被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、量子状態をケーラー多様体上の点として表現することにより、量子力学の幾何的再定式化を提示する。観測可能量は実数値関数であり、時間発展はシンプレクティックハミルトニアン・フローに従う。主な貢献は、古典的力学と量子力学の違いを明確にする、微分幾何的枠組みの統一的かつ一貫性のある枠組みを提供することであり、第二量子化やWKB近似に関する新たな知見を明らかにするとともに、標準的定式化を超えた量子理論のより深い一般化を示唆する。

ABSTRACT

States of a quantum mechanical system are represented by rays in a complex Hilbert space. The space of rays has, naturally, the structure of a Kähler manifold. This leads to a geometrical formulation of the postulates of quantum mechanics which, although equivalent to the standard algebraic formulation, has a very different appearance. In particular, states are now represented by points of a symplectic manifold (which happens to have, in addition, a compatible Riemannian metric), observables are represented by certain real-valued functions on this space and the Schrödinger evolution is captured by the symplectic flow generated by a Hamiltonian function. There is thus a remarkable similarity with the standard symplectic formulation of classical mechanics. Features---such as uncertainties and state vector reductions---which are specific to quantum mechanics can also be formulated geometrically but now refer to the Riemannian metric---a structure which is absent in classical mechanics. The geometrical formulation sheds considerable light on a number of issues such as the second quantization procedure, the role of coherent states in semi-classical considerations and the WKB approximation. More importantly, it suggests generalizations of quantum mechanics. The simplest among these are equivalent to the dynamical generalizations that have appeared in the literature. The geometrical reformulation provides a unified framework to discuss these and to correct a misconception. Finally, it also suggests directions in which more radical generalizations may be found.

研究の動機と目的

• 射影ヒルバート空間の自然なケーラー構造を用いて、標準的量子力学を幾何的言語に再定式化すること。
• シンプレクティック形式やリーマン計量などの微分幾何的構造を通じて、古典的力学と量子力学の根本的な違いを明確にすること。
• 非線形シュレーディンガー方程式やコherent状態ダイナミクスを含む、量子力学のさまざまな拡張の統一的枠組みを提供すること。
• 定曲率の複素ホロモルフィック断面曲率を持つ無限次元ケーラー多様体を用いた、新しい量子運動論の可能性を検討すること。
• ヒルバート空間を経由せずに、古典的位相空間から直接的に幾何的量を定義する量子位相空間への量子化手順が可能かどうかを検討すること。

提案手法

• 量子状態を複素ヒルバート空間上の線（射）として表現し、それが自然にシンプレクティック構造とリーマン計量を備えたケーラー多様体を形成すること。
• ハミルトニアンベクトル場、実数値関数、ケーラー計量といった幾何的対象を用いて、量子力学の公理（状態の時間発展、観測可能量、測定）を再表現すること。
• シンプレクティック構造を用いて、時間発展をハミルトニアン関数によって生成されるフローとして定義し、古典力学と類似した形で扱うこと。
• 量子位相空間の自然なバンドル構造における水平切断として、一般化されたコherent状態を導入すること。
• 量子位相空間自体に幾何的量子化技術を適用し、第二量子化が (量子化)² に相当することを示すこと。
• WKB近似を、量子位相空間上に明確に定義されたフローとして幾何学的に分析し、ワインバーグの意味での一般化量子力学に相当することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学の公理は、量子位相空間の幾何的構造のみを用いてどのように再定式化できるか？
• RQ2 量子不確定性と状態ベクトルの収縮の幾何的起源は何か？また、それらは古典的力学とどのように異なるか？
• RQ3 第二量子化手順は、量子状態の空間への幾何的量子化の自然な適用として理解できるか？
• RQ4 射影ヒルバート空間以外のケーラー多様体から、実用的で非自明な量子力学の一般化が得られるか？
• RQ5 ヒルバート空間を事前に仮定せずに、古典的位相空間から直接的に幾何的量子化手順を定義し、量子位相空間を構成できるか？

主な発見

• 量子状態の空間はケーラー多様体を形成し、不確定性や測定崩壊といった量子的特徴を捉えるために不可欠なシンプレクティック構造とリーマン計量を備えている。
• 時間発展は、ハミルトニアン関数によって生成されるシンプレクティックフローとして幾何学的に実現され、古典的定式化に類似しているが、リーマン計量のおかげで特徴的な量子的振る舞いを示す。
• 一般化されたコherent状態は、量子位相空間のバンドル構造における水平切断として自然に現れ、半古典的状態の幾何的特徴づけを可能にする。
• WKB近似は、量子位相空間上に明確に定義されたフローとして幾何学的に特徴づけられ、ワインバーグの意味での一般化量子力学に相当する。
• 第二量子化は、量子状態の空間への幾何的量子化を適用することで、(量子化)² に相当することが示された。
• 定曲率（複素ホロモルフィック断面曲率が 2/ħ に等しい）の無限次元ケーラー多様体が、射影ヒルバート空間とは同型でないものとして存在する可能性があり、これは新しい実用的で妥当な量子運動論の一般化を示唆する。