[論文レビュー] Geometrical methods in mathematical physics

M. O. Katanaev|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 254被引用数 18

ひとこと要約

この包括的な独創的論文は、多様体、テンソル場、微分形式、接続、計量を焦点として、微分幾何学およびトポロジーを数学的物理の基盤的道具として発展させる。アフィン接続、曲率、リー群の厳密な取り扱いを通じて、現代物理学の幾何的言語——特に相対性理論とゲージ理論——を体系的に構築し、時空幾何学および場の理論への応用で頂点に達する。

ABSTRACT

We give detailed exposition of modern differential geometry from global coordinate independent point of view as well as local coordinate description suited for actual computations. In introduction, we consider Euclidean spaces and different structures on it; rotational, Lorentz, and Poincare groups; special relativity. The main body of the manuscript includes manifolds, tensor fields, differential forms, integration, Riemannian and Lorentzian metrics, connection on vector and frame fiber bundles, affine geometry, Lie groups, transformation groups, homotopy and fundamental group, coverings, principal and associated fiber bundles, connections on fiber bundles, Killing vector fields, geodesics and extremals, symplectic and Poisson manifolds, Clifford algebras, principle of least action, canonical formalism for constrained systems. Applications of differential geometry in quantum theory (adiabatic theorem, Berry phase, Aharonov-Bohm effect), general relativity and geometric theory of defects are described. We give introduction to general relativity and its Hamiltonian formulation; describe scalar, spinor, electromagnetic and Yang-Mills fields. Riemannian and Lorentzian surfaces with one Killing vector field are discussed in detail, and their global structure is described using conformal block method. We also classified all global vacuum solutions of the Einstein equations, which have the form of warped product metrics of two surfaces. The manuscript is not a textbook, and intended for efficient reader.

研究の動機と目的

• 理論物理学に応用される微分幾何学およびトポロジーの自己完結的で数学的に厳密な基礎を提供すること。
• 一般相対性理論やゲージ理論を含む古典的および相対的場の理論の背後にある幾何的構造を統一すること。
• 現代の数学的物理に不可欠なファイバー束、接続、曲率、微分形式の言語を発展させること。
• リー群およびその作用が時空およびゲージ対称性における物理的対称性の根幹をなす役割を確立すること。
• 微分形式の計算、外微分、ホッジ分解を通じて物理法則の幾何的定式化を提示すること。

提案手法

• 集合論および実数の基本的性質から出発し、R^n 上の位相的・ベクトル的・アフィン的構造へと段階的に展開する体系的かつ一貫した手法。
• アトラスとチャートを用いた多様体の定義に注力し、滑らかさ構造、細分、部分多様体を強調。
• テンソルおよび微分形式の計算を展開し、外微分、楔積、向き付けられた多様体上での積分を含む。
• ベクトル束およびフレーム束上の接続理論を応用して、共変微分、曲率、 torsion（ねじれ）を定義。
• フロベニウスの定理を用いて可積分分布およびファイブレーションを特徴付け、幾何学と物理的制約を結びつける。
• リー群論を用いて時空対称性（ポアンカレ群、ガリレオ群、自己相似群）およびその無限小生成子を記述。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^n 及びその一般化の幾何的構造は、基礎的集合論および体論から体系的にどのように構築可能か？
• RQ2 微分形式および外微分法が、マクスウェル方程式やアインシュタインの場の法則といった物理法則の定式化に果たす役割は何か？
• RQ3 ベクトル束上の接続および曲率は、ゲージ理論および一般相対性理論の幾何的枠組みをどのように提供するか？
• RQ4 リー群およびその作用は、時空および物理的場の基本的対称性をどのように符号化するか？
• RQ5 ファイブレーションおよび可積分分布の理論は、物理的制約および保存則とどのように関係するか？

主な発見

• 滑らかな多様体上の微分幾何学の完全かつ厳密な枠組みが確立され、テンソルおよび微分形式代数の構成が含まれる。
• パラコンパクト多様体上での局所データから大域的構成が可能であることを保証する、細分の存在および一意性の証明。
• ベクトル束上の接続理論が完全に発展され、曲率、ねじれ、およびビアンキ恒等式の定義が含まれる。
• 外微分およびその性質（d² = 0）が微分形式のホモロジー的構造を規定し、ホッジ分解へと導く。
• ホロノミーおよび平行移動を通じてねじれおよび曲率の幾何的意味が明確化され、R³およびミンコフスキー空間における明示的例が提示される。
• 特殊相対性理論の幾何的定式化が導出され、ミンコフスキー時空の等長変換群としてのポアンカレ群が明示的に特定され、座標変換およびローレンツ不変性が示される。