[論文レビュー] Geometrical phases on hermitian symmetric spaces

Stefan Berceanu|ArXiv.org|Aug 18, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、単純なリー群に対して、 coherent states の内積の位相が測地的三角形のシンプレクティック面積のちょうど2倍であるような同次空間 $G/K$ は、唯一、ヘルミート対称空間であることを確立している。複素グラスマン多様体とその非コンパクト双対における表現における乗法的因子を明示的に計算し、それがギュシャルデとウィグナーの2次コサイクルと一致することを示しており、幾何的位相とリー群コホモロジーを結びつけている。

ABSTRACT

For simple Lie groups, the only homogeneous manifolds $G/K$, where $K$ is maximal compact subgroup,for which the phase of the scalar product of two coherent state vectors is twice the symplectic area of a geodesic triangle are the hermitian symmetric spaces. An explicit calculation of the multiplicative factor on the complex Grassmann manifold and its noncompact dual is presented.It is shown that the multiplicative factor is identical with the two-cocycle considered by A. Guichardet and D. Wigner for simple Lie groups.

研究の動機と目的

• 同次空間 $G/K$ のうち、coherent state 内積の位相が測地的三角形のシンプレクティック面積のちょうど2倍に等しいものを探ること。
• 複素グラスマン多様体とその非コンパクト双対におけるユニタリ表現における乗法的因子を明示的に計算すること。
• この因子が単純リー群に対してギュシャルデとウィグナーの2次コサイクルと正確に一致することを示すこと。
• 2次コサイクルの幾何的意義を、coherent state の文脈におけるシンプレクティック面積として特定すること。
• coherent state 理論、シンプレクティック幾何学、およびリー群コホモロジーの結果を、対称空間上で統合すること。

提案手法

• coherent state 埋め込みとコーシー型公式を用いて、内積の位相をシンプレクティック幾何学と関連付ける。
• ポントラージン座標を用いて、複素グラスマン多様体 $X_{c}$ とその非コンパクト双対 $X_{n}$ の点をパラメータ化し、行列指数関数と双曲線・三角関数を用いる。
• 線形分数変換 $Z' = (AZ+B)(CZ+D)^{-1}$ の形で、$G_{c}=SU(n+m)$ と $G_{n}=SU(n,m)$ のグラスマン多様体への作用の変換則を導出する。
• 点 $o$ に対して $\sigma(o) = e$ を満たす切断 $\sigma: G/K \to G$ を構成し、群の元と多様体上の点とを関連づけることで、測地的三角形の面積を明示的に計算可能にする。
• 逆関係 $B = \frac{\text{arcta}\sqrt{ZZ^{+}}}{\sqrt{ZZ^{+}}}$ を用いて、行列座標とリー代数の元との間を写像する。
• 計算された乗法的因子をギュシャルデとウィグナーの2次コサイクルと比較し、グラスマン多様体の設定において正確に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの同次空間 $G/K$ に対して、coherent state 内積の位相が測地的三角形のシンプレクティック面積のちょうど2倍に等しいか？
• RQ2 ユニタリ表現における複素グラスマン多様体とその非コンパクト双対における乗法的因子の明示的形は何か？
• RQ3 この乗法的因子は、単純リー群に対してギュシャルデとウィグナーの2次コサイクルと一致するか？
• RQ4 グラスマン多様体上の測地的三角形のシンプレクティック面積は、群のコホモロジカル構造とどのように関係するか？
• RQ5 2次コサイクルの幾何的意義は、ホロノミーとシンプレクティック幾何学の文脈で、どのように解釈されるか？

主な発見

• coherent state 内積の位相が測地的三角形のシンプレクティック面積のちょうど2倍に等しい同次空間 $G/K$ は、唯一、ヘルミート対称空間である。
• 複素グラスマン多様体 $Gr(n, n+m)$ とその非コンパクト双対 $Gr_{n}(n,m)$ における表現の乗法的因子は明示的に計算され、ギュシャルデとウィグナーの2次コサイクルと同一であることが示された。
• グラスマン多様体上の測地的三角形のシンプレクティック面積は、群作用とポントラージン座標から導かれた式で与えられ、グロモフノルムやデュポン＝ギュシャルデ理論の既知の結果と一致する。
• この結果は、幾何的位相が多様体のシンプレクティック構造と群のコホモロジカル性質に普遍的に結びついていることを確認している。
• 条件 $\sigma(o) = e$ および $\sigma(-Z) = \sigma(Z)^{-1}$ を満たす切断 $\sigma$ は、一貫したパラメータ化と三角形面積の計算を可能にする。
• 表現の乗法から得られる位相因子は2次コサイクルと一致し、coherent state、シンプレクティック幾何学、およびリー群コホモロジーの間の深い関係を確立している。