[論文レビュー] Geometrical properties of trapped surfaces and apparent horizons

Abbas M. Sherif, Rituparno Goswami+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2018

Historical Geography and Cartography参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における閉じ込められた表面および見かけの視界の解析を、1+1+2共変形式を用いて拡張し、一般の4次元時空における極小外側閉じ込められた表面（MOTS）の幾何学、力学、安定性を明確に記述可能にする。ホーキングの位相定理を一般化し、オッペンハイマー＝シュナイダー崩壊における内側MOTSが安定性作用素の負の固有値により不安定であることを示した。一方、外側MOTSは安定であり、ブラックホール形成と整合的である。

ABSTRACT

In this paper, we perform a detailed investigation on the various geometrical properties of trapped surfaces and the boundaries of trapped region in general relativity. This treatment extends earlier work on LRS II spacetimes to a general 4 dimensional spacetime manifold. Using a semi-tetrad covariant formalism, that provides a set of geometrical and matter variables, we transparently demonstrate the evolution of the trapped region and also extend Hawking's topology theorem to a wider class of spacetimes. In addition, we perform a stability analysis for the apparent horizons in this formalism, encompassing earlier works on this subject. As examples, we consider the stability of MOTS of the Schwarzschild geometry and Oppenheimer-Snyder collapse.

研究の動機と目的

• 局所的回転対称性II型（LRS II）時空を超えて、一般の4次元時空における閉じ込められた表面および見かけの視界の研究を一般化すること。
• 半テンソル1+1+2共変形式を用いて、幾何学的動機付けに基づいた、閉じ込められた領域の進化および位相の透明な記述を提供すること。
• null法線を[u,e]平面に制限する際の拡張スカラー形式の不変性を証明することで、ホーキングのブラックホール位相定理をより広いクラスの時空に拡張すること。
• この形式におけるMOTSの包括的安定性解析を実施し、既知の結果を回復および拡張すること。
• オッペンハイマー＝シュナイダーのダスト崩壊モデルにおける内側MOTSの不安定性の物理的解釈を提供すること。

提案手法

• 時空を時間、径方向、横方向空間に分解する半テンソル1+1+2共変形式を採用し、幾何学的および物質変数の共変記述を可能にする。
• 平均曲率1形式およびせん断、拡張、ウェイルテンソル成分などの曲率量を用いて、2次元面上のnull拡張スカラーの進化方程式を導出する。
• 安定性作用素 $ L( heta) = ar{M} heta $ を導入し、ここで $ ar{M} $ は曲率、エネルギー運動量、および力学的量を含む2階微分作用素である。この作用素を用いてMOTSの安定性を評価する。
• 球対称時空（例：シュバルツシルト時空）およびオッペンハイマー＝シュナイダー模型に作用素を適用し、$ ho, heta, ar{ heta}, ho, ext{および } ar{ ho} $ を含む固有値問題に簡略化する。
• 安定性の判定には、安定性作用素の主固有値 $ ar{ ho} $ を用いる：$ ar{ ho} > 0 $ ならば安定、$ ar{ ho} < 0 $ ならば不安定。
• ジャンの式からの関数方程式およびその発散を用いて、null拡張スカラーの進化を導出し、これとMOTSの安定性を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の4次元時空、特にLRS IIクラスを超えて、閉じ込められた表面および見かけの視界の幾何学的および力学的性質をどのように体系的に記述できるか？
• RQ2 1+1+2共変形式は、閉じ込められた領域の進化および位相を簡略化・明確化するために果たす役割は何か？
• RQ3 ホーキングのブラックホール位相定理は、より広いクラスの時空に拡張可能か？また、断面の位相的不変性を保証する条件は何か？
• RQ4 動的時空における極小外側閉じ込められた表面（MOTS）の安定性は、何によって決定されるか？この形式は既知の結果をどのように回復・拡張するか？
• RQ5 オッペンハイマー＝シュナイダー崩壊における内側MOTSがなぜ不安定なのか？その背後にある物理的メカニズムは何か？

主な発見

• 本稿は、任意の4次元時空において、null法線ベクトルを[u,e]平面に制限する際、拡張スカラーの形式が不変であることを証明した。これにより、ホーキングの位相定理が一般化可能である。
• シュバルツシルト時空では、安定性固有値 $ ar{ ho} = -rac{2m}{r^3} $ が負であるため、外側MOTSは厳密に安定であり、既知の球対称位相と整合的である。
• オッペンハイマー＝シュナイダー崩壊において、内側MOTSの安定性固有値は $ ar{ ho} = -rac{1}{3} heta^2 < 0 $ であり、不安定であることが示された。これは、特異点への継続的内向き崩壊を説明する。
• 時間対称極限では、安定性作用素は $ L( heta) = -( abla^2 - F) heta $ に簡略化され、古典的な最小曲面安定性作用素を回復する。
• この形式は、既知のMOTS安定性に関する結果を回復しており、特に支配的エネルギー条件の役割や、球対称真空中時空における $ ar{ ho} $ の振る舞いを明確にした。
• 解析により、OSモデルにおける内側MOTSが不安定であるのは、固有値 $ ar{ ho} $ が負であるためであり、変形が内側の閉じ込めを引き起こすことが確認された。これは重力崩壊と整合的である。