[論文レビュー] Geometrical tools for embedding fields, submanifolds, and foliations

Antony J. Speranza|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 77被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、微分同相不変理論における埋め込み場を用いて、埋め込み部分多様体、foliation、および場を体系的に分析するための微分幾何的枠組みを構築する。内接的・外接的曲率の変分公式を導出し、非可積分な法線方向を含む一般化されたガウス＝コダッチ＝リッチ恒等式を提示し、極小面に対するヤコビ方程式を導出し、一般相対性理論における境界条件を分類することで、量子重力および有効場理論におけるブレイン、流体、端モードの一貫した取り扱いを可能にする。

ABSTRACT

Embedding fields provide a way of coupling a background structure to a theory while preserving diffeomorphism-invariance. Examples of such background structures include embedded submanifolds, such as branes; boundaries of local subregions, such as the Ryu-Takayanagi surface in holography; and foliations, which appear in fluid dynamics and force-free electrodynamics. This work presents a systematic framework for computing geometric properties of these background structures in the embedding field description. An overview of the local geometric quantities associated with a foliation is given, including a review of the Gauss, Codazzi, and Ricci-Voss equations, which relate the geometry of the foliation to the ambient curvature. Generalizations of these equations for curvature in the nonintegrable normal directions are derived. Particular care is given to the question of which objects are well-defined for single submanifolds, and which depend on the structure of the foliation away from a submanifold. Variational formulas are provided for the geometric quantities, which involve contributions both from the variation of the embedding map as well as variations of the ambient metric. As an application of these variational formulas, a derivation is given of the Jacobi equation, describing perturbations of extremal area surfaces of arbitrary codimension. The embedding field formalism is also applied to the problem of classifying boundary conditions for general relativity in a finite subregion that lead to integrable Hamiltonians. The framework developed in this paper will provide a useful set of tools for future analyses of brane dynamics, fluid mechanics, and edge modes for finite subregions of diffeomorphism-invariant theories.

研究の動機と目的

• 微分同相不変場理論における埋め込み部分多様体、foliation、および背景構造を体系的に分析する幾何的枠組みを提供すること。
• 特定の部分多様体に依存する幾何的量と、全体のfoliation構造に依存する量の違いを明確にすること。
• 埋め込み写像と周囲の計量の両方の変化を考慮した内接的・外接的曲率の変分公式を導出すること。
• 任意の余次元を持つ極小面積多様体の摂動に対するヤコビ方程式を、埋め込み場形式を用いて導出すること。
• 一般相対性理論の有限部分領域における、可積分なハミルトニアンをもたらす境界条件を分類し、端モードおよびエンタングルメントエントロピーに関連付けること。

提案手法

• 背景構造（例：ブレイン、境界、foliation）を微分同相不変理論に結合するために、埋め込み写像 X: M₀ → M を用い、一般共変性を保持する。
• 座標表現として、内接接続、法線接続、外接的曲率、曲率テンソル（ガウス、コダッチ、リッチ＝ボス）を、埋め込みデータと周囲時空の幾何から導出する。
• ねじれテンソルと修正された外部曲率を用いて、非可積分な法線方向からの曲率寄与を含む、ガウス＝コダッチ＝リッチ方程式の一般化を行う。
• 埋め込み写像と周囲計量の両方を変化させることで幾何的量の変分公式を導出し、リーマン微分と接続の変化を含む表現を得る。
• 面積汎関数の変分を埋め込み写像の変形に対して行い、極小面に対するヤコビ方程式を計算することで、形式を応用する。
• この枠組みを用いて重力的ハミルトニアンの境界項を分析し、ハミルトニアンが有限部分領域で可積分かつ適切に定義されるための条件を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分多様体に関連するどの幾何的量が、全体のfoliation構造に依存せずに定義可能であるか？
• RQ2 法線 bundle が非可積分（すなわちねじれが非ゼロ）である場合、標準的なガウス＝コダッチ＝リッチ恒等式はどのように一般化されるか？
• RQ3 埋め込み写像と周囲計量の両方を変化させる場合、内接的・外接的曲率の正しい変分公式は何か？
• RQ4 任意の余次元を持つ極小面積多様体に対するヤコビ方程式は、埋め込み場形式内でどのように導出可能か？
• RQ5 時空の有限部分領域における一般相対性理論で、可積分なハミルトニアンをもたらす境界条件は何か？ そして、それらは端モードおよびエンタングルメントエントロピーとどのように関係するか？

主な発見

• 非可積分な法線方向からの曲率寄与を明示的に組み込んだ、ガウス＝コダッチ＝リッチ恒等式の一般化形が導出された。ねじれテンソル Fᵢⱼₖ が含まれる。
• 内接的曲率成分は Rᵢⱼₖₗ = ∂ₖγᵢⱼₗ − ∂ₗγᵢⱼₖ + γᵢₖₘγᵐⱼₗ − γᵢₗₘγᵐⱼₖ で与えられ、接バンドルにおける標準的なリーマン曲率と整合的である。
• 法線曲率テンソルは CAᵦCD = ∂*CΓᴬDB − ∂*DΓᴬCB + ΓᴬCEΓᴱDB − ΓᴬDEΓᴱCB − FⁱCDLᴬⁱB として導出され、FⁱCD はねじれテンソル、LᴬⁱB は修正された接続である。
• 任意の余次元を持つ極小面積多様体に対するヤコビ方程式は、埋め込みおよび計量の変化に対する面積汎関数の2次変分としての変分的結果として導出された。
• この枠組みにより、重力的ハミルトニアンの境界項が可積分であるのは、埋め込みおよび計量の変化が特定の制約を満たす場合に限ることが判明し、これにより端モードの存在と関連づけられた。
• 時空のクリフォール記号の座標表現が、内接的接続係数、外接的曲率、シフトベクトル、ねじれを用いて完全に導出され、包括的な計算ツールキットが提供された。