[論文レビュー] Geometrically Intrinsic Nonlinear Recursive Filters II: Foundations

R. W. R. Darling|ArXiv.org|Sep 6, 1998

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、確率的微分幾何学を用いて、多様体上での非線形再帰的フィルタリングの幾何的内禀的基礎を確立する。拡散過程の最適推定と条件付き分散の座標に依存しない内禀的公式を、ヤコビ場および調和写像の熱方程式から導出された内禀的位置パラメータを用いて提示し、非線形設定において拡張カルマンフィルタとは根本的に異なるものである。

ABSTRACT

This paper contains the technical foundations from stochastic differential geometry for the construction of geometrically intrinsic nonlinear recursive filters. A diffusion X on a manifold N is run for a time interval T, with a random initial condition. There is a single observation consisting of a nonlinear function of X(T), corrupted by noise, and with values in another manifold M. The noise covariance of X and the observation covariance themselves induce geometries on M and N, respectively. Using these geometries we compute approximate but coordinate-free formulas for the "best estimate" of X(T), given the observation, and its conditional variance. Calculations are based on use of Jacobi fields and of "intrinsic location parameters", a notion derived from the heat flow of harmonic mappings. When any nonlinearity is present, the resulting formulas are not the same as those for the continuous-discrete Extended Kalman Filter. A subsidiary result is a formula for computing approximately the "exponential barycenter" of a random variable S on a manifold, i.e. a point z such that the inverse image of S under the exponential map at z has mean zero in the tangent space at z.

研究の動機と目的

• 座標に依存しない定式化を避ける非線形再帰的フィルタリングの幾何的内禀的フレームワークの構築を目的とする。
• ノイズが混在する非線形観測のもとでの多様体上での拡散過程のフィルタリングの課題に対処することを目的とする。
• 観測が与えられたときの状態の事後平均および条件付き分散の近似だが座標に依存しない公式を導出することを目的とする。
• 調和写像の熱方程式に基づく「内禀的位置パラメータ」の概念を導入し、多様体上での幾何的平均を定義することを目的とする。
• 非線形性が存在する状況において、古典的フィルタ（例：拡張カルマンフィルタ）とは異なる基礎を提供することを目的とする。

提案手法

• 多様体 N 上での状態過程 X を拡散過程として確率的微分幾何学でモデル化する。
• 観測ノイズの共分散が観測多様体 M 上にリーマン幾何を誘導するように組み込む。
• ヤコビ場を用いて測地線の感度を分析し、曲率に依存する補正を推定に導入する。
• 調和写像の熱方程式の解として得られる「内禀的位置パラメータ」を導入し、幾何的平均の計算を可能にする。
• 指数写像および接空間への射影を用いて、事後平均および条件付き分散の近似で座標に依存しない公式を導出する。
• 指数重心（exponential barycenter）の概念に依存する：点 z が、S という確率変数を exp_z で逆写像したとき、T_zN 上でその平均がゼロになるような点である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上での最適フィルタリングは、どのように座標に依存しない幾何的内禀的形で定式化できるか？
• RQ2 曲率およびヤコビ場は、線形近似を超えた非線形推定バイアスの補正に果たす役割は何か？
• RQ3 幾何的平均（指数重心）の概念は、多様体上での内禀的推定パラメータを定義するためにどのように利用できるか？
• RQ4 非線形性が存在する場合、提案された内禀的フィルタは拡張カルマンフィルタとどのような点で異なるか？
• RQ5 調和写像の熱方程式を用いることで、多様体上での確率変数の安定的かつ内禀的な位置パラメータを定義できるか？

主な発見

• 提案されたフィルタの公式は本質的に座標に依存せず、状態多様体および観測多様体の内禀的リーマン幾何にのみ依存する。
• ヤコビ場の使用により、曲率を考慮した推定補正が可能となり、これは拡張カルマンフィルタには存在しない。
• 調和写像の熱方程式から導出される内禀的位置パラメータは、ユークリッド空間における平均の幾何的アナログを提供する。
• 指数重心は、確率変数 S を exp_z で逆写像したものが接空間 T_zN 上で平均ゼロとなるような点 z として定義される。
• 非線形性が存在する場合、得られる推定公式は連続的離散型拡張カルマンフィルタのそれとは明確に異なることが保証される。
• 本手法は、状態空間の多様体構造を尊重する、体系的で幾何学的根拠に基づいた非線形フィルタリングのアプローチを提供する。