[論文レビュー] Geometrization of the local Langlands correspondence

L Fargues, Peter Scholze|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2021

Advanced Algebra and Geometry参考文献 67被引用数 40

ひとこと要約

この論文は Fargues–Fontaine 曲線上に幾何的 Langlands の枠組みを構築し、BunG 上の l-adic 層を定義し、幾何学的 Satake 同値を証明し、G(E) 表現の L-parameters を構築し、cohomology の有限性とスペクトル作用への応用を得る。

ABSTRACT

Following the idea of [Far16], we develop the foundations of the geometric Langlands program on the Fargues--Fontaine curve. In particular, we define a category of $\ell$-adic sheaves on the stack $\mathrm{Bun}_G$ of $G$-bundles on the Fargues--Fontaine curve, prove a geometric Satake equivalence over the Fargues--Fontaine curve, and study the stack of $L$-parameters. As applications, we prove finiteness results for the cohomology of local Shimura varieties and general moduli spaces of local shtukas, and define $L$-parameters associated with irreducible smooth representations of $G(E)$, a map from the spectral Bernstein center to the Bernstein center, and the spectral action of the category of perfect complexes on the stack of $L$-parameters on the category of $\ell$-adic sheaves on $\mathrm{Bun}_G$.

研究の動機と目的

• Fargues–Fontaine 曲線を介した局所 Langlands 対応の幾何的プログラムを動機づけ、定式化する。
• G-バンドルのモジュライスタック BunG とその l-adic 層の導出カテゴリーを定義・研究する。
• この設定において幾何学的 Satake 同値を確立し、それを双対群と Hecke 演算子と関連づける。
• L-parameters のスタックを導入・分析し、G(E) の不可約表現の L-parameters を構成する。
• 局所 Shimura 多様体・局所 shtuka のモジュライ空間のコホモロジー有限性などへの応用を調べ、スペクトル作用系を発展させる。

提案手法

• Fargues–Fontaine 曲線とその様々な incarnations（X_S, X_C, Div1）および関連する G_torsor モジュリ BunG を定義する。
• v-スタック BunG を構築し、自動同形群 eG_b を持つ Bun_b(G) への層化を記述する。
• l-adic 層 D(BunG, Q_l) の導来カテゴリーを展開し、D(Bun_b(G), Q_l) への半直交分解を確立する。
• この設定で幾何学的 Satake 同値を証明し、モノイダル函手 Rep bG → D(HckG, Q_l) を得る。
• グローバル・局所の Hecke-stacks を介して Hecke 演算子を導入し、それらが D(BunG, Q_l) 上の Weil 群共役構造を与えることを示す。
• L-parameters のスタックを構築・分析し、excursion 演算子を定義して BunG 上の对象から L-parameters を取り出す。
• Perf(Coh(Stacks of L-parameters)) のスペクトル作用が D(BunG, Q_l) に及ぶことを説明し、係数のバリアント（有理／整数量）を論じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換局所場を Fargues–Fontaine 曲線を用いて幾何化するにはどうすればよいか。
• RQ2 Fargues–Fontaine 曲線上の G-バンドルは G(E) の表現および Hecke 演算子を介して L-parameters とどのように関連するか。
• RQ3 Fargues–Fontaine 設定で幾何学的 Satake 同値を確立して Langlands 的な双対群を自然に取り出せるか。
• RQ4 局所 Shimura 多様体および shtuka のモジュライ空間に関する有限性・構造的性質（コホモロジー、層、Bernstein 中心等）を導出できるか。
• RQ5 スペクトル作用系は L-parameters、Hecke 行使、G(E) 表現との間の相互作用をどのように整理するか。

主な発見

• BunG 上の l-adic 層のカテゴリーが定義され、Fargues–Fontaine 曲線上で幾何学的 Satake 同値が確立される。
• L-parameters のスタックが導入され、その特異点と粗モジュライ空間が分析される。
• 局所 Shimura 多様体および局所 shtuka のモジュライ空間に対してコホモロジー有限性が得られる。
• L-parameters が G(E) の不可約平滑表現に対応づけられ、スペクトル作用が定式化される。
• スペクトル Bernstein 中心から Bernstein 中心への自然な写像が定義される。
• Excursion 演算子が開発され、Derived Category の BunG 上の対象から L-parameters を取り出す。