[論文レビュー] Geometry and curvature of diffeomorphism groups with $H^1$ metric and mean hydrodynamics

Steve Shkoller|ArXiv.org|Jul 15, 1998

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 9被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン多様体 $M$ 上の体積保存 $H^s$ 微分同相写像群 $\mathcal{D}^s_\mu(M)$ における $H^1$ 右不変計量を用いて、平均流体力学におけるラグランジュ安定性を研究するための幾何的基盤を確立する。$H^1$ 計量の曲率テンソルが $H^s$ 位相で有界であることを証明し、ジャコビ場の存在を保証し、測地線安定性の解析を可能にする。この結果は、ホルム＝マルズデン＝ラティウの平均流体モデルに応用可能である。

ABSTRACT

Recently, Holm, Marsden, and Ratiu [1998] have derived a new model for the mean motion of an ideal fluid in Euclidean space given by the equation $\dot{V}(t) + abla_{U(t)} V(t) - α^2 [ abla U(t)]^t \cdot riangle U(t) = - ext{grad} p(t)$ where $ ext{div} U=0$, and $V = (1- α^2 riangle)U$. In this model, the momentum $V$ is transported by the velocity $U$, with the effect that nonlinear interaction between modes corresponding to length scales smaller than $α$ is negligible. We generalize this equation to the setting of an $n$ dimensional compact Riemannian manifold. The resulting equation is the Euler-Poincaré equation associated with the geodesic flow of the $H^1$ right invariant metric on ${\mathcal D}^s_μ$, the group of volume preserving Hilbert diffeomorphisms of class $H^s$. We prove that the geodesic spray is continuously differentiable from $T{\mathcal D}_μ^s(M)$ into $TT{\mathcal D}_μ^s(M)$ so that a standard Picard iteration argument proves existence and uniqueness on a finite time interval. Our goal in this paper is to establish the foundations for Lagrangian stability analysis following Arnold [1966]. To do so, we use submanifold geometry, and prove that the weak curvature tensor of the right invariant $H^1$ metric on ${\mathcal D}^s_μ$ is a bounded trilinear map in the $H^s$ topology, from which it follows that solutions to Jacobi's equation exist. Using such solutions, we are able to study the infinitesimal stability behavior of geodesics.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間からコンパクトなリーマン多様体へ、$H^1$ 計量を用いてホルム＝マルズデン＝ラティウの平均流体モデルを一般化すること。
• ヒルベルト微分同相写像群 $\mathcal{D}^s_\mu(M)$ 上での測地線スプレイの滑らかさを確立し、測地線の局所的かつ一意的な存在を保証すること。
• $\mathcal{D}^s_\mu(M)$ 上の $H^1$ 右不変計量の弱い曲率テンソルを計算し、$H^s$ 位相で有界な三重線形写像であることを証明すること。
• 曲率を用いて測地線の無限小安定性を分析するため、ジャコビ場を介したラグランジュ安定性解析を可能にすること。

提案手法

• コンパクトなリーマン多様体 $M$ 上の体積保存 $H^s$ 微分同相写像群 $\mathcal{D}^s_\mu(M)$ における $H^1$ 右不変計量を形式化する。
• $H^1$ 計量下での測地線流れのオイラー＝ポワンカレ方程式を導出し、ホルム＝マルズデン＝ラティウモデルを多様体へ一般化する。
• 部分多様体幾何学の技法を適用して、$H^s$ 位相における $H^1$ 計量の弱い曲率テンソルを計算する。
• 測地線スプレイが連続的に微分可能であることを証明し、局所的かつ一意的な測地線の存在を保証するピカール反復法の適用を可能にする。
• 曲率テンソルの有界性を用いて、測地線に沿ったジャコビ方程式の解の存在を確立する。
• 特に非正の曲率の場合に、断面曲率を用いて共役点と安定性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト多様体上での平均流体モデルにおける、$\mathcal{D}^s_\mu(M)$ 上の $H^1$ 右不変計量が測地線流れの幾何学的・力学的性質に与える影響は何か？
• RQ2 $\mathcal{D}^s_\mu(M)$ 上の $H^1$ 計量の曲率テンソルの構造は何か？また、$H^s$ 位相で有界であるか？
• RQ3 $H^1$ 計量のもとでジャコビ場の存在を保証できるか？その結果、測地線の安定性にどのような意味があるか？
• RQ4 $\mathcal{D}^s_\mu(M)$ の測地線に共役点がないための曲率に関する条件は何か？
• RQ5 特定の測地線（例：トーラス上のせん断流）の安定性特性は、$H^1$ 計量の曲率にどのように依存するか？

主な発見

• $\mathcal{D}^s_\mu(M)$ 上の $H^1$ 右不変計量の弱い曲率テンソルは、$H^s$ 位相で有界な三重線形写像である。これにより、ジャコビ方程式の解の存在が保証される。
• ジャコビ方程式の解は存在し、$H^1$ 計量設定下での測地線の無限小安定性の解析に利用可能である。
• $\mathcal{D}^s_\mu(M)$ 内の圧力定数測地線について、断面曲率が非正であれば、その測地線に共役点は存在しない。
• $\mathbb{T}^2$ の場合、$\eta(t)(x^1,x^2) = (x^1 + h(x^2), x^2 + ct)$ および $\eta(t)(x^1,x^2) = (x^1 + t h(x^2), x^2)$ といった測地線が、$H^1$ 計量下で圧力定数測地線として示されている。
• 方向 $X = (\sin(kx^1), 0)$、$Y = (\cos(kx^1), 0)$ に対して、断面曲率 $\langle R^1_e(X,Y)Y,X\rangle_1$ はすべての $k \neq 0$ に対して負であり、その方向への摂動に対して不安定であることを示唆している。
• $\mathbb{T}^2$ 上のせん断型解の測地線流れは、$\cos(kx^2)$ 方向への摂動に対して不安定であり、曲率解析の予測と一致している。