[論文レビュー] Geometry and dynamics in Gromov hyperbolic metric spaces: With an emphasis on non-proper settings

Tushar Das, David Simmons+1 more|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Sep 7, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、固有性やコンパクト性を仮定せずに、Gromov 超曲線的距離空間への等長的群および半群作用の包括的な理論を構築し、特に無限次元設定（例：H∞）に焦点を当てる。Poincaré 指数を修正して Bishop–Jones 定理を一般化し、非コンパクトな境界上に Patterson–Sullivan 測度を構成し、ディオファントス近似を用いて正確次元性を特徴づける。非固有の超曲線的力学における新しい現象が明らかにされる。

ABSTRACT

Our monograph presents the foundations of the theory of groups and semigroups acting isometrically on Gromov hyperbolic metric spaces. Our work unifies and extends a long list of results by many authors. We make it a point to avoid any assumption of properness/compactness, keeping in mind the motivating example of $\mathbb H^\infty$, the infinite-dimensional rank-one symmetric space of noncompact type over the reals. The monograph provides a number of examples of groups acting on $\mathbb H^\infty$ which exhibit a wide range of phenomena not to be found in the finite-dimensional theory. Such examples often demonstrate the optimality of our theorems. We introduce a modification of the Poincaré exponent, an invariant of a group which gives more information than the usual Poincaré exponent, which we then use to vastly generalize the Bishop--Jones theorem relating the Hausdorff dimension of the radial limit set to the Poincaré exponent of the underlying semigroup. We give some examples based on our results which illustrate the connection between Hausdorff dimension and various notions of discreteness which show up in non-proper settings. We construct Patterson--Sullivan measures for groups of divergence type without any compactness assumption. This is carried out by first constructing such measures on the Samuel--Smirnov compactification of the bordification of the underlying hyperbolic space, and then showing that the measures are supported on the bordification. We study quasiconformal measures of geometrically finite groups in terms of (a) doubling and (b) exact dimensionality. Our analysis characterizes exact dimensionality in terms of Diophantine approximation on the boundary. We demonstrate that some Patterson--Sullivan measures are neither doubling nor exact dimensional, and some are exact dimensional but not doubling, but all doubling measures are exact dimensional.

研究の動機と目的

• Gromov 超曲線的距離空間への等長的群および半群作用の完全で自己完結的な理論を確立すること、特に非固有の設定において。
• Hausdorff次元と Poincaré 指数との関係を示す古典的 Bishop–Jones 定理を一般化し、古典的定式化の限界を克服すること。
• 境界や極限集合のコンパクト性を仮定しないで、発散型群の Patterson–Sullivan 測度を構成すること。
• 幾何的に有限な設定において、クェイシーコンフォーマル測度の正確次元性を境界上のディオファントス近似の観点から特徴づけること。
• H∞ などの無限次元超曲線的空間における新しい例を用いて、定理の最適性を示すこと。

提案手法

• 古典的バージョンよりも多くの力学的情報を捉えることのできる、修正された Poincaré 指数を導入し、特に非固有の設定において有効である。
• Samuel–Smirnov のコンパクト化を用いて、境界のコンパクト性を仮定しない超曲線的空間の辺境化上に Patterson–Sullivan 測度を構成する。
• これらの測度が非コンパクト化された辺境化上に支持を持つことを証明し、古典的な測度論的構成を拡張する。
• 倍加性と正確次元性を用いて、幾何的に有限な群のクェイシーコンフォーマル測度を解析し、境界上のディオファントス近似と結びつける。
• H∞ における明示的な例を構築し、非倍加的だが正確次元的な Patterson–Sullivan 測度といった新しい現象を示す。
• 一般化された極座標、シャドウ幾何学、および距離微分を用いて、超曲線的空間内の力学と成長を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的 Bishop–Jones 定理を、標準的な Poincaré 指数が完全な力学的情報を捉えきれない非固有の Gromov 超曲線的空間に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 境界や極限集合のコンパクト性を仮定しない非コンパクトな超曲線的空間上で作用する発散型群に対して、Patterson–Sullivan 測度を構成できるか？
• RQ3 幾何的に有限な設定において、クェイシーコンフォーマル測度の倍加性、正確次元性、およびディオファントス近似の性質との関係は何か？
• RQ4 H∞ などの無限次元超曲線的空間では、有限次元理論にないどのような新しい力学的現象が生じるか？
• RQ5 古典的な離散性の概念（例：固有の不連続性、強い離散性）は、非固有の超曲線的設定では、どの程度失敗するか、あるいは修正を要するか？

主な発見

• 修正された Poincaré 指数は、古典的 Poincaré 指数よりも厳密に強い不変量を提供し、非固有設定において Bishop–Jones 定理の完全な一般化を可能にする。
• Samuel–Smirnov のコンパクト化を用いることで、非コンパクト境界上に発散型群の Patterson–Sullivan 測度を構成でき、その支持は自然に非コンパクト化された辺境化上に降りる。
• 正確次元的だが倍加的でない Patterson–Sullivan 測度が存在し、また倍加的でも正確次元的でもない測度も存在することを示し、測度論的性質の厳密な階層が存在することを示す。
• クェイシーコンフォーマル測度の正確次元性は、境界上のディオファントス近似の性質によって特徴づけられ、正確次元性の動的解釈を提供する。
• H∞ における例から、弱い離散的半群に対しても極限集合が非可算であることが示され、また古典的意味での発散性に反しても、径方向極限集合が正の Hausdorff 次元を持つことがある。
• 理論により、古典的な位相的離散性と固有の不連続性の同値性が非固有設定では成立しないことが明らかになり、中程度の離散性や強い離散性といった洗練された概念の導入が不可欠であることが示された。