[論文レビュー] Geometry and Dynamics of Admissible Metrics in Measure Spaces

A. Vershik, Fedor Petrov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ルベーグ測度空間における許容的距離の解析のための幾何学的・力学的枠組みを導入し、群作用下での平均距離の漸近的挙動に注目する。エルゴディック変換のスペクトルに対する新たな離散性基準を確立する：スペクトルが離散的であることは、軌道上での平均距離のεエントロピーが一様に有界であることに同値であり、古典的エントロピーを超える新たな不変量を提供する。

ABSTRACT

We study a wide class of metrics in a Lebesgue space with a standard measure, the class of so-called admissible metrics. We consider the cone of admissible metrics, introduce a special norm in it, prove compactness criteria, define the "-entropy of a measure space with an admissible metric, etc. These notions and related results are applied to the theory of transformations with invariant measure; namely, we study the asymptotic properties of orbits in the cone of admissible metrics with respect to a given transformation or a group of transformations. The main result of this paper is a new discreteness criterion for the spectrum of an ergodic transformation: we prove that the spectrum is discrete if and only if the "-entropy of the averages of some (and hence any) admissible metric over fragments of its trajectory is uniformly bounded.

研究の動機と目的

• ルベーグ測度空間上の広範な距離のクラス（許容的距離）を対象とする幾何学的・解析的枠組みの構築。
• 許容的距離の錐におけるm-ノルムおよび収束性の性質の定義と研究を行い、前コンパクト性の基準を確立する。
• この枠組みをエルゴディック理論に応用し、測度保存変換のスペクトル的性質の特徴づけを行う。
• 平均距離のスケーリングエントロピーを新規に導入し、零コルモゴロフエントロピーを持つ力学系の分類に用いる不変量としての役割を明らかにする。
• 初期の許容的距離の選択に依存しない、新たなメトリックに基づく離散スペクトルの基準を確立する。

提案手法

• 許容的距離を、測度空間構造と整合する可測半距離と定義し、距離空間構造が測度論的性質を尊重することを保証する。
• 許容的距離の空間にm-ノルムを導入し、このような距離の錐における収束性および前コンパクト性の研究を可能にする。
• 可換群におけるFølner集合Aₙを用いて、平均距離ρₙ^av(x,y) = (1/#Aₙ)∑_{g∈Aₙ} ρ(gx,gy)を構成する。特にℤ作用に対して考察する。
• 平均距離のεエントロピーH_ε(ρₙ^av)を定義し、その漸近的成長を研究することでスケーリングエントロピーの概念を導入する。
• 自己同型のスペクトルが離散的であることは、十分に小さいεに対して、平均距離のεエントロピーがnに関して一様に有界であることに同値であることを証明する。
• 条件付き距離の理論および2変数純粋関数の性質を用いて、非自明なメトリック的挙動が非離散スペクトルを意味することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エルゴディック変換のスペクトル型は、分割や分割エントロピーではなく、平均化された許容的距離の漸近的挙動を用いて特徴づけられるか？
• RQ2 平均距離のεエントロピーの一様有界性は、エルゴディック系における離散スペクトルの必要十分条件か？
• RQ3 平均距離のスケーリングエントロピーは、古典的コルモゴロフエントロピーとどのように関係するか。特に零エントロピー系においては？
• RQ4 平均距離から得られる漸近的不変量は、初期の許容的距離の選択にどれほど依存しないか？
• RQ5 スケーリングエントロピーの成長率は、離散スペクトルと正エントロピーの中間的クラスの力学系を分類できるか？

主な発見

• エルゴディック自己同型のスペクトルが離散的であることは、その軌道上での平均距離のεエントロピーがn→∞において一様に有界であることに同値である。
• 平均距離ρₙ^avのεエントロピーは、広範な条件下で許容的距離の選択に依存しない変換の不変量である。
• 離散スペクトルを持つ系では、エルゴディック平均によって得られる極限距離はほとんど everywhere で定数であるが、εエントロピーの漸近的挙動がスペクトル構造を捉えている。
• 本枠組みは、Kushnirenkoの基準を一般化・拡張し、半距離の最大値の代わりに平均化を用い、分割エントロピーではなくメトリックに基づくエントロピーを導入することで、古典的エントロピー基準を超える。
• スケーリングエントロピーは、零エントロピー系におけるカオス性を検出可能であり、成長率は有界（離散スペクトル）から線形（正エントロピー）まで変化し、中間的状況では対数的またはべき乗的となる可能性がある。
• 正エントロピー系では、スケーリングエントロピーがnに対して線形に成長し、φ(ε)で正規化した極限が古典的コルモゴロフエントロピーh(T)に一致するという予想が支持される。