[論文レビュー] Geometry and Dynamics of Emergent Spacetime from Entanglement Spectrum

Hiroaki Matsueda|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、1次元自由フェルミオンにおける発現的時空の幾何構造と力学が、情報幾何を用いたエンタングルメントスペクトルから生じることを提案する。フィッシャー情報計量を用いて、反ド・ジッター（AdS）時空構造が導かれる。エンタングルメントスペクトルの指数型分布の形におけるヘッセ型ポテンシャル（エンタングルメントエントロピーと同一視される）が、虚数時間および径方向座標を伴うAdS計量を生成する。一方、エンタングルメントエントロピーの揺らぎは自由スカラー場として振る舞い、負の宇宙定数を伴うアインシュタイン方程式を導く。

ABSTRACT

We examine geometry and dynamics of classical spacetime derived from entanglement spectrum. The spacetime is a kind of canonical parameter space defined by the Fisher information metric. As a concrete example, we focus on the spectrum for free fermions in spatially one dimension. The spectrum has exponential family form like thermal probability distribution owing to mixed-state feature emerging from truncation of environmental degrees of freedom. In this case, the Fisher metric is given by the second derivative of the Hessian potential that can be identified with the entanglement entropy. We emphasize that the canonical parameters are nontrivial functions of partial system size by the truncation, filling fraction of fermions, and time. Then, the precise determination of this nontrivial mapping is necessary to derive the functional form of the Hessian potential that leads to correct entanglement entropy scaling. By this potential, we find that the emergent geometry becomes anti-de Sitter spacetime with imaginary time, and a radial axis as well as spacetime coordinates appears spontaneously. We also find that the information of the UV limit of the original free fermions lives in the boundary of the anti-de Sitter spacetime. These findings strongly suggest that the Hessian potential for free fermions has enough geometrical meaning associated with gauge-gravity correspondence. Furthermore, some deformation of the spectrum near the conformal fixed point is mapped onto spacetime dynamics. The fluctuation of the entanglement entropy embedded into the spacetime behaves like free scaler field, and the dynamics is described by the Einstein equation with a negative cosmological constant. Therefore, the Einstein equation can be regarded as the equation of original quantum state.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、情報幾何を用いて、量子エンタングルメントと古典的時空の間の幾何的対応を確立することである。
• 1次元自由フェルミオンのエンタングルメントスペクトル（自己準拠場理論を表す）が、どのように古典的時空幾何を生成するかを調査することである。
• 正しくエンタングルメントエントロピーのスケーリングを保証するため、標準パラメータ（系のサイズL、充填率n̄、時間t）から正しいヘッセ型ポテンシャルを導出することである。
• 得られる時空幾何が負の宇宙定数を伴う反ド・ジッター（AdS）時空と一致することを示すことである。
• さらに、エンタングルメントエントロピーの揺らぎの力学がアインシュタイン方程式に従うことを示し、量子状態の時間発展と重力の間の深い関係を示すことである。

提案手法

• 1次元自由フェルミオンのエンタングルメントスペクトルの指数型分布の形からフィッシャー情報計量を導出する。これは、環境の切断によって熱的分布に類似した形を取るためである。
• ヘッセ型ポテンシャルはエンタングルメントエントロピーと同一視され、系のサイズL、充填率n̄、時間tという標準パラメータの関数として表現される。
• 一般座標変換を適用して、標準パラメータ空間をポincare型ディスク表現に写像し、反ド・ジッター（AdS）構造を有する時空計量を導出する。
• ヘッセ型ポテンシャルの2階微分がフィッシャー計量を与える。この計量が虚数時間および径方向座標を伴うAdS計量に対応することが示される。
• エンタングルメントエントロピーの揺らぎは、発現的時空上にスカラー場φとして写像され、その力学は自由スカラーのラグランジアンに従う。
• スカラー場から得られるエネルギー運動量テンソルが、負の宇宙定数を伴うアインシュタイン方程式を満たすことが示され、重力的力学の発現が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元自由フェルミオンのエンタングルメントスペクトルが指数型分布の形で表現された場合、どのようにして古典的時空幾何が生じるのか？
• RQ2 標準パラメータ（L, n̄, t）から導かれるヘッセ型ポテンシャルの明確な関数形は何か？ また、その関数形がエンタングルメントエントロピーの正しいスケーリングを保証する仕組みは何か？
• RQ3 ヘッセ型ポテンシャルから得られるフィッシャー計量が、虚数時間および径方向次元を伴う反ド・ジッター（AdS）時空幾何を再現するのか？
• RQ4 臨界点近傍でのエンタングルメントスペクトルの変形がどのように時空力学を生じさせ、エンタングルメントエントロピーの揺らぎが果たす役割は何か？
• RQ5 発現的時空に埋め込まれたエンタングルメントエントロピーの力学から、負の宇宙定数を伴うアインシュタイン方程式を導出できるか？

主な発見

• エンタングルメントスペクトルのヘッセ型ポテンシャル（エンタングルメントエントロピーと同一視される）が、虚数時間および径方向座標を伴う反ド・ジッター（AdS）時空と一致する時空計量を生成する。
• 標準パラメータ（L, n̄, t）は、元のモデルパラメータの非自明な関数であり、エンタングルメントエントロピーの正しいスケーリングを保つためにその正確な決定が不可欠である。
• 臨界点に位置する系では、発現的時空幾何が負の宇宙定数を伴うアインシュタイン方程式の真空解として示される。
• 臨界点からのエンタングルメントスペクトルの変形は、非ゼロのエネルギー運動量テンソルを生じさせ、これはエンタングルメントエントロピーの揺らぎが自由スカラー場として現れるためである。
• エンタングルメントエントロピーの揺らぎを表すスカラー場φは自由スカラーのラグランジアンを満たし、その力学が負の宇宙定数を伴うアインシュタイン方程式を導く。
• 元の1次元自由フェルミオン系のUV極限は、発現的AdS時空の境界に符号化されており、情報幾何的枠組みにおいてボトムアップ対応（bulk/boundary correspondence）が確立される。