[論文レビュー] Geometry and intersection theory on Hilbert schemes of families of nodal curves

Ziv Ran|ArXiv.org|Mar 31, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、相対的ヒルベルト函手のノード曲線の爆発記述を、相対的対称積へのサイクル写像を介して確立し、重複点の判別式の特異点集合を解消することを証明する。また、フラグヒルベルト函手と分割原理を用いて、トロピカルバンドルのチャーン類の再帰的交差計算を構築し、トロピカルクラスと境界ストラトゥムのデータを用いて、三接線数のような数え上げ的不変量の計算を可能にする。

ABSTRACT

We study the relative Hilbert scheme of a family of nodal (or smooth) curves, over a base of arbitrary dimension, via its (birational) cycle map, going to the relative symmetric product. We show the cycle map is the blowing up of the discriminant locus, which consists of cycles with multiple points. We work out the action of the blowup or 'discriminant' polarization on some natural cycles in the Hilbert scheme, including generalized diagonals and cycles, called 'node scrolls', parametrizing schemes supported on singular points. We derive an intersection calculus for Chern classes of tautological vector bundles, which are closely related to enumerative geometry.

研究の動機と目的

• 相対的ヒルベルト函手のノード曲線におけるトロピカルバンドルのチャーン数を計算する問題を解決すること。これは先行研究において未解決のままであった。
• ヒルベルト函手上のトロピカルバンドルのチャーン類の任意の多項式に対する体系的で再帰的な交差計算を構築すること。
• 相対的ヒルベルト函手から相対的対称積へのサイクル写像が、判別式の特異点集合に沿った爆発写像であることを確立すること。
• 数え上げ的不変量の計算を、基底の境界ストラトゥムにおけるマムフォードのトロピカルクラスに還元すること。
• フラグヒルベルト函手と分割原理を用いた、トロピカルバンドルの再帰的フレームワークを提供すること。

提案手法

• サイクル写像 $\mathfrak{c}_m: X^{[m]}_B \to X^{(m)}_B $ が判別式の特異点集合 $D^m$ に沿った爆発写像であることを証明し、$\Gamma^{(m)} = \mathfrak{c}_m^{-1}(D^m)$ を例外除集合とする。
• 分割原理（補題 3.5）を用いて、$X^{[m,m-1]}_B$ 上で全チャーン類 $c(\Lambda_m(E))$ を $c(\Lambda_{m-1}(E))$ と $\Gamma^{(m)}$ を含む判別因子の積として表現する。
• トロピカルモジュール $T^m$ を、対角的局所とノードスクロール／セクションの加法的スパンとして定義し、フラグヒルベルト函手を用いて再帰的に生成する。
• 転送定理（定理 3.3）を適用し、フラッグスキーム $W^m$ を用いて、$X^{[m-1]}_B$ 上のチャーン類の多項式を $X^{[m]}_B$ 上に持ち上げる。
• 射影公式とモジュール定理（2.1）を用いて、トロピカルモジュールが押し出しと乗法に関して閉じていることを保証する。
• 特定の不変量、たとえば三接線数を、$W^m \times G$ 上の積分を用いて計算し、グレアマン多様体とヒルベルト函手上のトロピカルバンドルのチャーン類の積に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的ヒルベルト函手から相対的対称積へのサイクル写像は、判別式の特異点集合に沿った爆発写像と同型であるか？
• RQ2 ノード曲線のヒルベルト函手上のトロピカルバンドルのチャーン類に対して、再帰的交差計算を構築できるか？
• RQ3 三接線平面の数のような数え上げ的不変量は、境界ストラトゥム上のトロピカルクラスでどのように表現できるか？
• RQ4 判別除集合 $\Gamma^{(m)}$ は、対称積を越えてヒルベルト函手の幾何をどのように記述しているか？
• RQ5 トロピカルモジュール $T^m$ は、$X^{[m]}_B$ 上のすべての関連する交差理論的情報を十分に捉えているか？

主な発見

• サイクル写像 $\mathfrak{c}_m$ は、相対的対称積を判別式の特異点集合 $D^m$ に沿って爆発したものであり、$\Gamma^{(m)} = \mathfrak{c}_m^{-1}(D^m)$ であり、$-\Gamma^{(m)}$ は爆発写像の自然な $\mathcal{O}(1)$ 極化である。
• 分割原理（補題 3.5）により、$X^{[m,m-1]}_B$ 上で $c(\Lambda_m(E))$ は $c(\Lambda_{m-1}(E)) \cdot \text{判別因子}$ として表現され、再帰的計算が可能になる。
• トロピカルモジュール $T^m$ は、相対的対角的局所とノードスクロール／セクションによって加法的に生成され、フラッグヒルベルト函手を介した転送写像に関して閉じている。
• 滑らかな曲線が $\mathbb{P}^3$ に埋め込まれている場合、仮想的な三接線の数は $\frac{1}{6}(2d^3 - 12d^2 + 16d - 3d(2g-2) + 6(2g-2))$ であり、この計算は本計算法によって可能である。
• 一般の有理パENCIL（次数 $d$）が $\mathbb{P}^{2m-1}$ 内にある場合、$(m-2)$-接平面を持つ曲線の数 $N_m$ は、$W^m \times G$ 上の積分によって計算され、$\Gamma^{(m)}$ とチャーン類の特定の単項式からの寄与が含まれる。
• この計算法により、すべての不変量が $b = L^2$, $d = \deg_\pi(L)$, $\omega^2$, $\sigma$, $\omega \cdot L$, および $\deg_\pi(\omega) = 2g-2$ の特性類に還元され、$d$ に関して再帰的に計算可能になる。