[論文レビュー] Geometry and nonlinear analysis

Gang Tian|ArXiv.org|Dec 1, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 48被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、非線形偏微分方程式（PDE）に注目した幾何解析分野における最近の進展を概説している。特に、アインシュタイン方程式、ヤンミルズ方程式、最小曲面方程式の自己双対解が4次元多様体およびカーラビ＝ヤウ多様体の不変量の構成に果たす役割に焦点を当てている。また、最小曲面の理解に向け、キャリブレートされた電流と擬複素写像の使用を強調し、次元2におけるキャリブレート電流が特定の条件下で擬複素写像であるという予想を証明している。

ABSTRACT

Nonlinear analysis has played a prominent role in the recent developments in geometry and topology. The study of the Yang-Mills equation and its cousins gave rise to the Donaldson invariants and more recently, the Seiberg-Witten invariants. Those invariants have enabled us to prove a number of striking results for low dimensional manifolds, particularly, 4-manifolds. The theory of Gromov-Witten invariants was established by using solutions of the Cauchy-Riemann equation. These solutions are often refered as pseudo-holomorphic maps which are special minimal surfaces studied long in geometry. It is certainly not the end of applications of nonlinear partial differential equations to geometry. In this talk, we will discuss some recent progress on nonlinear partial differential equations in geometry. We will be selective, partly because of my own interest and partly because of recent applications of nonlinear equations. There are also talks in this ICM to cover some other topics of geometric analysis by R. Bartnik, B. Andrew, P. Li and X.X. Chen, etc.

研究の動機と目的

• 非線形PDEに駆動された幾何解析分野における最近の進展を概説すること。特に、自己双対解に注目すること。
• ケーラー多様体およびシンプレクティック多様体における最小曲面を理解するための道具としてのキャリブレート電流の正則性および構造を調査すること。
• キャリブレート電流と擬複素写像の間の関係を、特に次元2において確立すること。
• 平均曲率フローがシンプレクティックまたはラグランジュ部分多様体を最小曲面へ変形する役割を調査すること。
• アインシュタイン方程式や2次元における共形スカラー曲率方程式などの幾何的PDEの解の存在および正則性を調査すること。

提案手法

• アインシュタイン条件を非線形楕円型PDEに還元するために、$ \tilde{g} = e^{\varphi}g $ による計量の共形変形を用いる：$ \Delta\varphi + \frac{s(g)}{2} = \lambda e^{\varphi} $。
• 3次元および4次元多様体におけるアインシュタイン計量の存在を、変分法およびリッチフローを用いて研究し、ターレンの幾何化プログラムと関連付ける。
• 可縮集合、整数値密度、単位ノルムの微分形式によって定義されるキャリブレート電流を用いて、滑らかな部分多様体を超えた最小曲面の一般化を図る。
• 弱解および積分電流の理論を適用して、特にカーラビ＝ヤウ3-foldにおける特異な最小曲面を分析する。
• 変形されたセイバーウェン・方程式の断熱的極限を用いて $ \omega $-キャリブレート電流を構成し、それらを擬複素写像と関連付ける。
• 平均曲率フローをシンプレクティックおよびラグランジュ部分多様体に適用し、フローがシンプレクティックおよびラグランジュ構造を保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー多様体またはシンプレクティック多様体におけるキャリブレート電流が、どのような条件下で擬複素写像から生じるか。
• RQ2 ケーラー＝アインシュタイン4次元多様体におけるシンプレクティック曲面は、平均曲率フローによってシンプレクティック最小曲面へホモトピー化可能か。
• RQ3 面積を最小化する電流の正則性構造はどのようなものか。また、それらは滑らかな擬複素写像の層に分解可能か。
• RQ4 2次元多様体上の共形スカラー曲率方程式の解は、与えられた共形類におけるアインシュタイン計量の存在とどのように関係するか。
• RQ5 リッチフローまたは変分法が、特定の位相的制約を満たす3次元および4次元多様体におけるアインシュタイン計量の存在をどの程度解消できるか。

主な発見

• 任意のリーマン2次元多様体は、方程式 $ \Delta\varphi + \frac{s(g)}{2} = \lambda e^{\varphi} $ の可解性により、その共形類にアインシュタイン計量を有する。
• 球面 $ S^2 $ 上の正曲率計量の空間は、ハミルトンのリッチフローによる一様化定理の証明により、可縮であることが示された。
• シンプレクティック4次元多様体に適した計量を備えた2次元キャリブレート電流は、キャリブレーティング形式が $ \omega^l/l! $ である限り、擬複素写像曲線である。この事実は、$ \dim C = 2 $ において最近証明された。
• 平均曲率フローは、ケーラー＝アインシュタイン曲面におけるシンプレクティック性を保存するため、最小シンプレクティック曲面へのホモトピーの可能性を示唆する。
• カーラビ＝ヤウ多様体におけるキャリブレート電流が、次元が高々 $ k-2 $ の滑らかな擬複素写像の層に分解可能であるという予想は、次元2における最近の結果によって支持されている。
• 面積を最小化する電流の正則性は、アームグレンの定理により、ハウスドルフ余次元2の集合を除いて $ C^\infty $ であることが知られている。