[論文レビュー] Geometry-aware Bayesian Optimization in Robotics using Riemannian Matérn Kernels

Noémie Jaquier, Viacheslav Borovitskiy+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2021

Robotic Mechanisms and Dynamics参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ロボット工学で一般的な非ユークリッド多様体（SO(3)、SPD行列、双曲空間など）における幾何学的注意をもったベイズ最適化のためのリーマン多様体マトゥルンカーネルを提案する。ラプラス＝ベルトラミー作用素のスペクトル理論と一般化された積分表現を活用することで、理論的に整合性があり正定値であるカーネルを構築可能となり、手動による長さスケールの調整を必要とせず、姿勢制御や運動計画などのロボット工学的タスクにおける最適化性能が向上する。

ABSTRACT

Bayesian optimization is a data-efficient technique which can be used for control parameter tuning, parametric policy adaptation, and structure design in robotics. Many of these problems require optimization of functions defined on non-Euclidean domains like spheres, rotation groups, or spaces of positive-definite matrices. To do so, one must place a Gaussian process prior, or equivalently define a kernel, on the space of interest. Effective kernels typically reflect the geometry of the spaces they are defined on, but designing them is generally non-trivial. Recent work on the Riemannian Matérn kernels, based on stochastic partial differential equations and spectral theory of the Laplace-Beltrami operator, offers promising avenues towards constructing such geometry-aware kernels. In this paper, we study techniques for implementing these kernels on manifolds of interest in robotics, demonstrate their performance on a set of artificial benchmark functions, and illustrate geometry-aware Bayesian optimization for a variety of robotic applications, covering orientation control, manipulability optimization, and motion planning, while showing its improved performance.

研究の動機と目的

• ロボット工学における回転群や対称正定値行列などの非ユークリッド多様体上での関数最適化という課題に取り組み、標準的なユークリッドカーネルでは幾何的構造を捉えることができない点を解決すること。
• 先行研究がコンパクト多様体に限られていたのに対し、一般で理論的根拠を持つリーマン多様体上での幾何学的注意カーネルを構築するフレームワークを構築すること。
• 内在的な多様体幾何をカーネル設計に組み込むことで、データ効率的なベイズ最適化を可能にし、収束性とロバスト性を向上させること。
• 実際のロボットアプリケーション、例えば姿勢制御、可動域最適化、運動計画において、提案手法の実用的有効性を実証すること。

提案手法

• 本手法は、二乗指数関数的カーネルの積分表現を用いて、先行研究の範囲を超えて非コンパクト多様体への応用を可能にするリーマン多様体マトゥルンカーネルを定式化する。
• ラプラス＝ベルトラミー作用素のスペクトル理論を活用し、既約表現の固有値と特徴指標を用いて、群表現の級数展開によりカーネルを定義する。
• SO(3)、SPD行列、双曲空間などの特定の多様体に対して、ウェイルの特徴指標公式やコレスキー分解などの群論的道具を用いて、明示的なカーネル式を導出する。
• カーネルは $ k_{\nu,\kappa,\sigma^2}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \frac{\sigma^2}{C_\nu} \sum_{\pi} \left( \frac{2\nu}{\kappa^2} + \lambda_\pi \right)^{-\nu - \frac{d}{2}} d_\pi \chi_\pi(\mathbf{X}\mathbf{Y}^{-1}) $ として構築され、正定値性と滑らかさの制御が保証される。
• 多様体の内在的計量とスペクトル分解を直接カーネルに埋め込むことで、ヒューリスティックな長さスケール選択を回避する。
• 人工ベンチマークおよびロボット工学的タスクで手法を検証し、導出されたカーネルを用いたベイズ最適化により制御パラメータをチューニングし、ロボットの行動最適化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マトゥルンカーネルは、SO(3)、SPD行列、双曲空間などの非コンパクトリーマン多様体へどのように一般化可能か。これは、先行研究がコンパクト多様体に限られていたのを拡張するものである。
• RQ2 ラプラス＝ベルトラミー作用素のスペクトル理論に基づく幾何学的注意カーネルは、ロボット工学のベイズ最適化においてデータ効率性と収束性を向上させることができるか。
• RQ3 提案されたリーマン多様体マトゥルンカーネルは、標準的なユークリッドカーネルやヒューリスティックな幾何的カーネルと比較して、ロボット制御および計画タスクにおける最適化パフォーマンスでどのように差をつけるか。
• RQ4 内在的多様体幾何から導出されるカーネルの滑らかさおよび長さスケールパラメータの役割は何か。また、これらは意味的に最適化可能か。

主な発見

• 提案されたリーマン多様体マトゥルンカーネルは理論的に正定値であることが保証され、先行の幾何学的注意アプローチとは異なり、手動による長さスケール選択を必要としない。
• 群表現理論を用いた明示的カーネル式の導出により、SO(3)、SPD行列、双曲空間などの非ユークリッド多様体上での有効なベイズ最適化が可能となる。
• 人工ベンチマークにおいて、Riemannマトゥルンカーネルは標準的なユークリッドカーネルおよび単純な幾何的近似手法よりも収束速度と精度で優れている。
• 姿勢制御や運動計画を含むロボット工学的応用において、ベースライン手法と比較してより速い収束と向上したパフォーマンスを達成している。
• カーネル式により、マトゥルンパラメータ $\nu$ を用いた滑らかさの最適化が可能となり、底面の多様体構造に適応したより良い適合性が得られる。