[論文レビュー] Geometry of 2d topological field theories

Boris Dubrovin|ArXiv.org|Jul 4, 1994

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 36

ひとこと要約

この論文は、WDVV方程式を通じて2次元トポロジカル場理論（TFT）の幾何的枠組みを確立し、Frobenius多様体を中心的な幾何的構造として導入する。WDVV方程式の解—TFTのモジュライ空間を記述する—が平坦なパラメータ族の計量および等モノドロミー変形に対応しており、Painlevé VI、可積分階層、正規可積分系のモノドロミー群と関連する重要な結果が得られている。

ABSTRACT

These lecture notes are devoted to the theory of equations of associativity describing geometry of moduli spaces of 2D topological field theories. Introduction. Lecture 1. WDVV equations and Frobenius manifolds. {Appendix A.} Polynomial solutions of WDVV. {Appendix B.} Symmetriies of WDVV. Twisted Frobenius manifolds. {Appendix C.} WDVV and Chazy equation. Affine connections on curves with projective structure. Lecture 2. Topological conformal field theories and their moduli. Lecture 3. Spaces of isomonodromy deformations as Frobenius manifolds. {Appendix D.} Geometry of flat pencils of metrics. {Appendix E.} WDVV and Painlevé-VI. {Appendix F.} Branching of solutions of the equations of isomonodromic deformations and braid group. {Appendix G.} Monodromy group of a Frobenius manifold. {Appendix H.} Generalized hypergeometric equation associated to a Frobenius manifold and its monodromy. {Appendix I.} Determination of a superpotential of a Frobenius manifold. Lecture 4. Frobenius structure on the space of orbits of a Coxeter group. {Appendix J.} Extended complex crystallographic groups and twisted Frobenius manifolds. Lecture 5. Differential geometry of Hurwitz spaces. Lecture 6. Frobenius manifolds and integrable hierarchies. Coupling to topological gravity.

研究の動機と目的

• 2次元トポロジカル場理論のモジュライ空間における結合則の方程式（WDVV）を幾何的構造として定式化すること。
• WDVVの解のうち、良好な解析的性質を持つものについて、シンプレクティックおよびCalabi-Yau多様体のGromov-Witten不変量の生成関数として特定すること。
• 半古典的Lax表現を介してFrobenius多様体と可積分階層との間の対応を確立すること。
• Frobenius多様体のモノドロミー群を定義し、ミラー対称性に関連する離散的不変量として研究すること。
• WDVV方程式の対称性を探索し、異なる中心的荷重を持つ解を関連付けるBäcklund型変換を含むこと。

提案手法

• 潜在関数F(t)の三階微分が可換かつ結合的代数を定めるという定義により、Frobenius多様体をWDVV方程式の解の幾何的実現として導入する。
• パrameter空間のモジュライ空間における主要な幾何的対象として、変形されたアフィン接続および変形されたユークリッド計量を構成する。
• 等モノドロミー変形理論を用いて、等モノドロミー変形空間が自然にFrobenius多様体構造を持つことを示す。
• 平坦座標とアーベル微分の留数公式を関連付けることで、可積分階層に対応する半古典的Lax表現を導出する。
• Frobenius多様体のモノドロミー群を、ユークリッド構造の変形を支配する正規可積分系のモノドロミーとして定義する。
• Coxeter群および複素空間群に適用し、解がこれらの群の不変量を用いて表現可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 WDVV方程式は、2次元トポロジカル場理論のモジュライ空間の幾何をどのように符号化しているか？
• RQ2 解析的性質の良い条件が、WDVV方程式の孤立解の選択に果たす役割は何か？
• RQ3 Frobenius多様体は可積分階層およびその分散なし極限とどのように関係しているか？
• RQ4 Frobenius多様体のモノドロミー群は離散的になり得るか？ そしてそれはミラー対称性に何を明らかにするか？
• RQ5 WDVV方程式の対称性群の構造は何か？ そしてそれはトポロジカル弦理論における双対性とどのように関係しているか？

主な発見

• 良好な解析的性質を持つWDVV方程式の解は孤立的であり、ケーラー多様体およびシンプレクティック多様体のGromov-Witten不変量の生成関数に対応する。
• 半単純代数Atに対するWDVVの一般解は、Painlevé VI型およびその高次元版の超越関数を用いて表現可能である。
• 等モノドロミー変形空間は自然にFrobenius多様体構造を持ち、変形されたアフィン接続および計量が主要な構成要素である。
• 任意のFrobenius多様体に対し、平坦座標およびアーベル微分を用いて、その関連する階層の半古典的Lax表現が構成可能である。
• 良好な解析的性質を持つ解に対して、Frobenius多様体のモノドロミー群は離散的であると予想され、具体的な例では有限Coxeter群、拡張されたアフィンワイル群、または複素空間群であることが示された。
• Coxeter群および拡張された複素空間群に関連する解は、群の不変量を用いた明示的公式により与えられ、WDVV解の幾何的実現が得られる。