[論文レビュー] Geometry of a desingularization of eleven-dimensional gravitational spinors

M. V. Movshev|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2011

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、11次元重力スピン形式の空間の特異点を、その特異点集合に沿った吹き上げ（blowup）により解消し、結果として、OGr(2,11) 上にファイバーする滑らかな代数的多様体 Ỹ を得る。主な貢献は、線形化された11次元スーパーラヴィットラの運動方程式を、超グラスマン多様体上でのコーシー＝リーマン方程式として幾何学的に実現することであり、これにより構造層の自己双対的分解を通じて解析的・コhomological 手法が可能になる。

ABSTRACT

We show that the space of gravitational spinors in eleven dimensions, defined by equations $Γ_{αβ}^iλ^αλ^β=0$ admits a desingularization with nice geometric properties. In particular the desingularization fibers over the isotropic Grassmannian OGr(2,11). This enables us to recast equations of linearized eleven-dimensional supergravity adapted to 3-form potential into Cauchy-Riemann equations on a super extension of isotropic Grassmannian OGr(2,11).

研究の動機と目的

• 11次元スーパーグラビティの幾何的枠組みを提供すること。ここでは超対称性が明示的であり、場は制約なしに扱える。
• Γ行列の制約によって定義される重力的スピン形式の空間の特異点を、吹き上げ技術を用いて解消すること。
• 解消された多様体上に、OGr(2,11) 上へのファイブレーション構造を確立し、コhomological および解析的手法を可能にすること。
• 線形化された11次元スーパーグラビティ方程式を、OGr(2,11) の超グラスマン多様体拡張上でのコーシー＝リーマン方程式に再定式化すること。

提案手法

• 特異点集合 Xsing ≅ OGr(5,11) に沿って、重力的スピン形式の特異多様体 X を吹き上げることで、滑らかな多様体 Ỹ を得る。
• 各ファイバーが ℙ⁷ に同型である、射 p: Ỹ → OGr(2,11) を持つファイブレーションを構成する。
• 例外的除集合 Y ⊂ Ỹ を、V¹¹ 内の型 (2,5) の部分的等方的フラグの空間 OFl(2,5,11) として同定し、OGr(2,11) 上に二次曲面ファイバーを持つようにする。
• X の構造層の自己双対的分解 R を用いて、コhomological 不変量およびヒルベルト多項式を計算する。
• セール双対性およびハイパーセクトルスペクトル系列を用い、n = -1,…, -15 のとき O(n) が非アーシック（acyclic）であることを証明する。
• トレース写像 l を用いて、微分的代数的複体 K のコホモロジーに完全なペアリングを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 11次元重力的スピン形式の特異空間は、幾何学的および表現論的構造を保ちつつ、どのようにして解消可能か？
• RQ2 解消された多様体の OGr(2,11) 上へのファイブレーション構造はどのようなものか？
• RQ3 線形化された11次元スーパーグラビティは、超グラスマン多様体上でコーシー＝リーマン方程式として再定式化可能か？
• RQ4 特異多様体 X 上の構造層 O(n) のコホモロジー的性質は何か？
• RQ5 構造層の自己双対的分解 R は、X のヒルベルト多項式および次数とどのように関係するか？

主な発見

• 解消された多様体 Ỹ は滑らかであり、OGr(2,11) 上にファイバーし、各ファイバーは ℙ⁷ に同型である。
• 例外的除集合 Y ⊂ Ỹ は、V¹¹ 内の型 (2,5) の部分的等方的フラグの空間 OFl(2,5,11) に同型である。
• 特異多様体 X は次元22の既約成分を持つことが、ヒルベルト多項式の次数から確認された。
• X 上の層 O(n) は n = -1, ..., -15 のとき非アーシックであり、n ≥ 0 のすべての次数で消える。
• X のヒルベルト多項式 H(n) は、次数22の有理関数として明示的に計算された。
• コホモロジーの消滅および分解 R の自己双対性に依拠し、トレース写像 l を用いて微分的代数的複体 K のコホモロジーに完全なペアリングが確立された。