[論文レビュー] Geometry of Carnot--Carathéodory Spaces, Differentiability and Coarea Formula

М. Б. Карманова, Sergey Vodopyanov|ArXiv.org|Apr 21, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 81被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$C^{1,\beta}$-滑らかさをもつ基底場をもつCarnot–Carathéodory空間におけるベクトル場のGromovの可解化定理について、局所的なCarnot群の幾何構造を比較する定量的推定を確立する新しい証明を提示する。Ball–Box定理やRashevski–Chow定理といった主要な結果が導出され、連続な水平微分をもつ写像の$hc$-微分可能性が証明され、接触写像のための面積係数公式も確立される。

ABSTRACT

We give a simple proof of Gromov's Theorem on nilpotentization of vector fields, and exhibit a new method for obtaining quantitative estimates of comparing geometries of two different local Carnot groups in Carnot--Carathéodory spaces with $C^{1,α}$-smooth basis vector fields, $α\in[0,1]$. From here we obtain the similar estimates for comparing geometries of a Carnot--Carathéodory space and a local Carnot group. These two theorems imply basic results of the theory: Gromov type Local Approximation Theorems, and for $α>0$ Rashevski\vı-Chow Theorem and Ball--Box Theorem, etc. We apply the obtained results for proving $hc$-differentiability of mappings of Carnot--Carathéodory spaces with continuous horizontal derivatives. The latter is used in proving the coarea formula for some classes of contact mappings of Carnot--Carathéodory spaces.

研究の動機と目的

• Carnot–Carathéodory空間におけるベクトル場のGromovの可解化定理の、より簡素化された新しい証明を提供すること。
• 2つの局所Carnot群の幾何構造およびCarnot多様体とその局所接空間Carnot群との間の幾何構造を比較する定量的推定を確立すること。
• 幾何的比較から、Rashevski–Chow定理やBall–Box定理といった基礎的結果を導出すること。
• Carnot多様体における連続な水平微分をもつ写像の$hc$-微分可能性を証明すること。
• 水平ヤコビアンの構造と$hc$-微分可能性の結果を用いて、Carnot–Carathéodory空間における接触写像のための面積係数公式を確立すること。

提案手法

• Hölder空間における固定点定理を用いた反復近似により、導関数が可解化された場への収束を証明する。
• 収縮写像の原理を適用し、近似曲線の導関数の均一な$C^{\beta}$-Hölder収束を示す。
• 合成関数の微分法則と$\frac{df}{dy}$および$\frac{\partial f}{\partial v}$の有界性を用い、Hölder連続性を活用して導関数の差を推定する。
• 導関数の解写像の均一な有界性を、$\frac{dy_n}{dv}$の全変動の幾何的制御を通じて確立する。
• 導関数の収束を用いて、水平微分の極限として曲線および写像の$hc$-微分可能性を証明する。
• 部分リーマン幾何的設定においてRademacherおよびStepanovの定理を適用し、水平微分の連続性のもとでの$hc$-微分可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所Carnot群の幾何構造に対する定量的推定を伴うGromovの可解化定理を、どのように再証明できるか？
• RQ2 C^{1,\alpha}$-滑らかなCarnot–Carathéodory空間において、2つの局所Carnot群の幾何構造を比較するための明確な境界は何か？
• RQ3 スケーリングされた場が可解化された場に収束することは、Ball–Box定理およびRashevski–Chow定理をどのように示すか？
• RQ4 水平微分が連続である場合、Carnot–Carathéodory空間間の写像が$hc$-微分可能となる条件は何か？
• RQ5 $hc$-微分可能性を用いて、Carnot–Carathéodory空間における接触写像のための面積係数公式を確立できるか？

主な発見

• ベクトル場の収束に対する明示的な定量的推定を伴う、Gromovの可解化定理のより簡素化された証明が確立された。
• 近似曲線の導関数に対する均一な$C^{\beta}$-Hölder推定が得られ、$C^1$-ノルムにおける収束が保証された。
• Carnot–Carathéodory空間の幾何構造が、その局所可解化接錐と定量的に比較され、半径が制御されたBall–Box定理が得られた。
• $\alpha > 0$のとき、幾何的比較推定の結果としてRashevski–Chow定理が再現された。
• 連続な水平微分をもつ写像の$hc$-微分可能性が証明され、古典的微分可能性が部分リーマン幾何的設定へと拡張された。
• $hc$-微分可能性の結果と水平ヤコビアンの構造を用いて、Carnot–Carathéodory空間における接触写像のための面積係数公式が確立された。