[論文レビュー] Geometry of cohomology support loci for local systems I

Donu Arapura|ArXiv.org|Dec 7, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 162

ひとこと要約

この論文は、コンパクト・カーラー多様体のザリスキ開部分集合上の局所系のコhomologyサポート・ローカスの幾何的構造を確立し、それが特性多様体内の部分トーラスの平行移動の有限和であることを示している。Higgs束の技法とハイパーキョホロジー同型を用いて、これらのローカスが指数的ホッジ型であることを証明し、特に一般型の曲線への写像に関して、その基本群に強い位相的制約を与える。

ABSTRACT

Let X be a Zariski open subset of a compact Kaehler manifold. In this paper, we study the set $Σ^k(X)$ of one dimensional local systems on X with nonvanishing kth cohomology. We show that under certain conditions (X compact, X has a smooth compactification with trivial first Betti number, or k=1) $Σ^k(X)$ is a union of translates of sets of the form $f^*H^1(T,C^*)$, where $f:X o T$ is a holomorphic map to a complex Lie group which is an extension of a compact complex torus by a product of C^*'s (these correspond to semiabelian varieties in the algebraic category). This generalizes earlier work of Beauville, Green, Lazarsfeld, Simpson and the author in the compact case. The main novelty lies in the proofs which involve consideration of Higgs fields with logarithmic poles. While a completely satifactory theory of such objects is still lacking, we are able to work out what we need in the rank one case by borrowing ideas from mixed Hodge theory. This will appear in the Journal of Algebraic Geometry.

研究の動機と目的

• コンパクト・カーラー多様体のザリスキ開部分集合上の局所系のコホモロジー支援ローカスの幾何的構造を理解すること。
• これらのローカスが特性多様体内での部分トーラスの平行移動の有限和であることを確立すること。これは、コンパクト・カーラー多様体に対する結果を一般化する。
• 第一コホモロジー支援ローカス Σ¹(X) が指数的ホッジ型であることを示し、これは有限個の指数的平行移動による部分混合ホッジ構造の直和への分解を意味する。
• このような空間の基本群に関する位相的制約を導出すること、特に一般型の曲線への全射写像に関して。
• 一般型の曲線への適切な写像の数が有限であり、基本群によってのみ決定されることを証明すること。

提案手法

• X 上の平坦ユニタリ接続を、正規交叉分岐を持つコンパクト化 X̄ 上の対数的Higgs場に結びつけるためにHiggs束の技法を用いる。
• ハイパーキョホロジー同型を適用する：H•(X, Vθ) ≅ H•(Ω•(log D) ⊗ V; ∇ + θ) ≅ H•(Ω•(log D) ⊗ V; θ) であり、θ のスケーリング不変性を示す。
• コホモロジーがθ ↦ tθ の拡大作用に関して不変であることを確立し、これが指数的ホッジ型構造を証明する上で鍵となる。
• Hochschild-Serreスペクトル系列を用いて、H¹(X, Cρ) を HomΛ(M, Cρ) に結びつける。ここで M は特性多様体上の加群である。
• Σ¹(X) がザリスキ閉であり、ユニタリキャラクターの下でレイ条件を満たすという事実を用いて、その指数的ホッジ型構造を導出する。
• モノドロミーと曲線上の局所系に関する位相的議論を用いて、押し出し写像の単射性と成分の有限性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト・カーラー多様体のザリスキ開部分集合 X に対して、コホモロジー支援ローカス Σ¹(X) の幾何的構造は何か？
• RQ2 Higgs場のスケーリングに対して、局所系のコホモロジーはどのように振る舞い、これにより支援ローカスにどのような意味が生じるか？
• RQ3 支援ローカス Σk(X) が X の基本群をどの程度特定するか？
• RQ4 Σ¹(X) の構造を用いて、X から一般型の曲線への適切な写像の存在を検出できるか？
• RQ5 指数的ホッジ型構造は、X の位相にどのような制約を課えるか？

主な発見

• Σ¹(X) は H¹(X, C*) 内の部分トーラスの平行移動の有限和であり、具体的には ∪i ρi f_i^* H¹(C_i, C*) ∪ ∪j {ρ'j} と表される。ここで f_i: X → C_i は、オイラー特徴数が負である曲線へのホロモーフィック写像である。
• 局所系 V_θ のコホモロジーは、θ ↦ tθ の拡大作用に関して不変であり、これは指数的ホッジ型構造を証明する上で重要な段階である。
• Σk(X) は指数的ホッジ型である：H¹(X, C) 内の複素部分空間 exp(Λ_i ⊗ C + r_i) の平行移動の有限和である。
• Σ¹(X) に自明なキャラクターを含む b 次元成分の数は有限であり、Kähler構造に依存せず、π₁(X) のみに依存する。
• X が一般型の曲線への全射ホロモーフィック写像を持つための必要十分条件は、π₁(X) が非アーベル自由群に全射することである。
• dim H₁(π₁(X)', C) = ∞ ならば、ある有限分岐なしアーベル被覆 Y → X が存在し、Y は一般型の曲線への適切な写像を持つ。