[論文レビュー] Geometry of coisotropic submanifolds in symplectic and Kähler manifolds

Yong‐Geun Oh|ArXiv.org|Oct 31, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、アインシュタイン・カーラー多様体におけるラグランジュ部分多様体の主要な幾何的性質を、コイソトロピック部分多様体へ一般化する。葉ごとの平均曲率形式とコイソトロピック・マスロフ指数を導入し、ほぼカーラー多様体における標準接続に関して、平均曲率類が閉じていることを確立するとともに、体積形式の相対的閉性条件を用いて、ヌル・フォリエーションの最小性に関する基準を示し、古典的結果をコイソトロピック設定へ拡張する。

ABSTRACT

The first purpose of this paper is to generalize the well-known Maslov indices of maps of open Riemann surfaces with boundary lying on Lagrangian submanifolds to maps with boundary lying on coisotropic submanifolds in symplectic manifolds. For this purpose, we first define the notion of {\it Maslov loops} of coisotropic Grassmanians and their indices. Then we introduce the notions of {\it transverse Maslov bundle} of coisotropic submanifolds, and {\it gradable coisotropic submanifolds}. We then define {\it graded coisotropic submanifolds} and the {\it coisotropic Maslov index} of the maps with boundary lying on such graded coisotropic submanifolds, which reduces to the standard Maslov index of disc maps for the case of Lagrangian submanifolds. The second purpose is to study the geometry of coisotropic submanifolds in Kähler manifolds. We introduce the notion of the leafwise mean curvature form and transverse canonical bundle of coisotropic submanifolds and study various geometric properties thereof. Finally we combine all these to define the notion of {\it special coisotropic submanifolds} for the case of Calabi-Yau manifolds, and prove various consequences on their properties of the coisotropic Maslov indices.

研究の動機と目的

• カーラー多様体およびアインシュタイン・カーラー多様体におけるラグランジュ部分多様体からコイソトロピック部分多様体への平均曲率およびマスロフ類の理論を拡張すること。
• ほぼカーラー多様体におけるコイソトロピック部分多様体に対して、葉ごとの平均曲率ベクトルおよび曲率形式を定義すること。
• コイソトロピック・グラスマンニアンにおけるマスロフループの概念を導入し、それに対応するインデックスを定義すること。
• 体積形式の相対的閉性条件を用いて、コイソトロピック部分多様体上のヌル・フォリエーションの最小性に関する基準を確立すること。
• カミラ・ヤウ多様体における階数付きおよび特別なコイソトロピック部分多様体を定義し、それらのディスク写像におけるコイソトロピック・マスロフ指数に及ぼす影響を導出すること。

提案手法

• ほぼカーラー多様体における標準接続を用いて、葉ごとの平均曲率形式 $\alpha_Y^\parallel$ を導入する。
• 標準接続および曲率形式を用いて、$i d_{\mathcal{F}} \alpha_Y^\parallel - {}^E\text{curv}(K_Y) = i^*_{\mathcal{F}}(\rho) + d_{\mathcal{F}}(\tau)$ という恒等式を導出し、曲率とリッチ形式の関係を明らかにする。
• コイソトロピック・グラスマンニアン $\Gamma_k(\mathbb{R}^{2n}, \omega_0)$ におけるマスロフループを定義し、シンプレクティック構造および複素構造を用いて関連するインデックスを構成する。
• コイソトロピック部分多様体に適したフレームを用いてカルタンの構造方程式を適用し、第二基本形式および葉の平均曲率ベクトルを計算する。
• ヌル・フォリエーション上に体積形式 $\nu_Y = e^*_{k+1} \wedge \cdots \wedge e^*_n$ を導入し、その相対的閉性が最小葉を特徴付けることを証明する。
• コホモロジー類 $[\alpha_L] \in H^1(L; \mathbb{R})$ を用いて、マスロフ類のコイソトロピック版を導出し、特別なコイソトロピック部分多様体上に境界を持つディスク写像と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カーラー多様体におけるラグランジュ部分多様体の平均曲率類およびマスロフ指数を、コイソトロピック部分多様体へどのように一般化できるか？
• RQ2 標準接続が、コイソトロピック部分多様体における葉ごとの平均曲率および曲率形式を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 コイソトロピック部分多様体上のヌル・フォリエーションが最小であるための条件は何か？そして、幾何的にどのように特徴づけられるか？
• RQ4 コイソトロピック・グラスマンニアン $\Gamma_k(\mathbb{R}^{2n}, \omega_0)$ におけるシンプレクティック幾何的意味としてのマスロフループとは何か？ラグランジュの場合とはどのように異なるか？
• RQ5 カミラ・ヤウ多様体における階数付きおよび特別なコイソトロピック部分多様体の概念は、それらの部分多様体上に境界を持つディスク写像のマスロフ指数にどのような影響を及ぼすか？

主な発見

• 葉ごとの平均曲率形式 $\alpha_Y^\parallel$ は、$i d_{\mathcal{F}} \alpha_Y^\parallel - {}^E\text{curv}(K_Y) = i^*_{\mathcal{F}}(\rho) + d_{\mathcal{F}}(\tau)$ を満たし、ラグランジュの場合の一般化である。
• アインシュタイン・カーラー多様体において、平均曲率類 $[\alpha_L] \in H^1(L; \mathbb{R})$ は閉じている。これはダゾールとモルバンの結果を拡張する。
• コイソトロピック部分多様体上のヌル・フォリエーションは、体積形式 $\nu_Y$ が各葉上で相対的に閉じているときかつそのときに限り最小である。
• $\Gamma_k(\mathbb{R}^{2n}, \omega_0)$ 内のマスロフループはホモトピー不変量ではないが、シンプレクティック不変性を満たし、ラグランジュの場合を一般化する。
• カミラ・ヤウ多様体における特別なコイソトロピック部分多様体に対しては、境界がそのような部分多様体上にあるディスク写像のマスロフ指数が、特定の曲率的およびコホモロジー的制約を満たす。
• コイソトロピック・グラスマンニアン $\Gamma_k(\mathbb{R}^{2n}, \omega_0)$ は $U(n)/(U(k) \times O(n-k))$ に微分同相であり、次元は $\frac{(n+3k+1)(n-k)}{2}$ である。