[論文レビュー] Geometry of complex bounded domains with finite-volume quotients

Kefeng Liu, Yunhui Wu|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限体積 Kähler-Einstein商を持つ有界強擬凸領域の自己同型群の単位成分が、コンパクト因子をもたない半単純であることを確立する。Lie群論と ℓ² コホロロジーを用いて、基本群が既約で、1パラメータ自己同型群をもつような領域は、有界対称領域に biholomorphic であることを証明する。これは、Yau と Kazhdan の長年の予想を有限体積設定で解決するものである。

ABSTRACT

We first show that for a bounded pseudoconvex domain with a manifold quotient of finite-volume in the sense of Kahler-Einstein measure, the identity component of the automorphism group of this domain is semi-simple without compact factors. This partially answers an open question in [Fra95]. Then we apply this result in different settings to solve several open problems, for examples, (1). We prove that the automorphism group of the Griffiths domain [Gri71] in $\mathbb{C}^2$ is discrete. This gives a complete answer to an open question raised four decades ago. (2). We show that for a contractible HHR/USq complex manifold $D$ with a finite-volume manifold quotient $M$, if $D$ contains a one-parameter group of holomorphic automorphisms and the fundamental group of $M$ is irreducible, then $D$ is biholomorphic to a bounded symmetric domain. This theorem can be viewed as a finite-volume version of Nadel-Frankel's solution for the Kahzdan conjecture, which has been open for years. (3). We show that for a bounded convex domain $D\subset \mathbb{C}^n$ of $C^2$-smooth boundary, if $D$ has a finite-volume manifold quotient with an irreducible fundamental group, then $D$ is biholomorphic to the unit ball in $\mathbb{C}^n$, which partially solves an old conjecture of Yau. For (2) and (3) above, if the complex dimension is equal to $2$, more refined results will be provided.

研究の動機と目的

• コンパクト商が有限体積商に置き換えられる有限体積設定への Nadel-Frankel による Kazhdan の予想の解決の拡張。
• 有限体積商と連続自己同型群をもつ有界領域が、常に有界対称領域に biholomorphic であるかどうかという未解決の問題の解決。
• C^1-滑らかな境界と有限体積商、かつ既約基本群をもつ既約有界凸領域が、単位球に biholomorphic であることを証明する（Yau の予想の部分的確認）。
• 調和写像を用いない代替手法として、Lie群理論とコホモロジー的技法に依拠して、Nadel-Frankel の定理の有限体積版を確立する。

提案手法

• 有界強擬凸領域が有限体積 Kähler-Einstein 商をもつとき、その自己同型群の単位成分がコンパクト因子をもたない半単純であることを証明し、Nadel と Frankel の結果を一般化する。
• ℓ² コホロロジーと Lie 群論を用いて、自己同型群に1パラメータ部分群が存在し、基本群が既約である場合、領域が有界対称領域に biholomorphic であることを示す。
• 複素解析におけるスケーリング法を適用し、C^1-滑らかな境界が連続な1パラメータ自己同型群の存在を示す。
• 有界幾何学、対数一般型の準射影的多様体、および剛性定理（例：Jost-Zuo）の結果を統合し、Hermitian 対称空間への biholomorphism を結論づける。
• Harish-Chandra 埋め込みと境界正則性の議論を用いて、C^1-滑らかな凸領域に対して高ランク対称領域が除外されることを示す。
• Hermitian 対称空間内の格子の非消滅エULER 標数を用いて次元の一致を導出し、剛性定理を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Nadel-Frankel の定理が、有界対称領域に対して有限体積商設定に拡張可能か。
• RQ2 C^1-滑らかな境界と有限体積商、かつ既約基本群をもつ有界凸領域は、必ずしも単位球に biholomorphic か。
• RQ3 有限体積商設定において、1パラメータの正則自己同型群の存在が、領域が有界対称領域であることを示唆するか。
• RQ4 C^2 における Griffiths 領域の自己同型群が、40年以上にわたり予想されてきたように離散的であることを示せるか。
• RQ5 有限体積商をもつ、合同的 HHR/USq 複素多様体が、いつ Hermitian 対称空間に biholomorphic か。

主な発見

• 有限体積 Kähler-Einstein 商をもつ有界強擬凸領域の自己同型群の単位成分は、コンパクト因子をもたない半単純である。
• C^2 における Griffiths 領域の自己同型群は離散的であり、1971 年以来の予想を完全に解決する。
• 有限体積商、既約基本群、および1パラメータ自己同型群をもつ、合同的 HHR/USq 複素多様体 D に対して、D は有界対称領域に biholomorphic である。
• C^n における既約有界凸領域で、C^1-滑らかな境界と有限体積商、かつ既約基本群をもつ領域は、C^n における単位球に biholomorphic である。これは Yau の予想の部分的確認である。
• 複素次元 2 において、より強い剛性結果が得られ、Euler 標数と自己同型群構造に基づいて、単位球と bidisk を区別できる。
• C^1-滑らかな凸領域では、連続な1パラメータ自己同型群の存在が、領域が単位球に biholomorphic であることを強制するが、これは高ランク対称領域の境界正則性と矛盾する。