[論文レビュー] Geometry of curved Yang-Mills-Higgs gauge theories

S. Fischer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 2

ひとこと要約

本博士論文は、リー代数ダイアフレイド接続を用いたベクター束値汎関数上の微分作用素へのゲージ変換の一般化により、曲がったヤン・ミルズ・ヒッグスゲージ理論（CYMH GT）の座標に依存しない幾何的定式化を確立する。主な貢献は、特に非平坦な接続を許容する、任意の接続が定義可能な厳密な枠組みを提供することである。無限小ゲージ変換の交換子の閉包性は、接続の平坦性が必須である。本研究では、ラグランジアンを保存する場の再定義によるCYMH GTの同値類を定義し、特に七次球面のような非自明な位相的設定において、平坦接続や曲率項ζの消去に課される障害を特定する。

ABSTRACT

This is my Ph.D. thesis defended at 31 May 2021, and it is devoted to the study of the geometry of curved Yang-Mills-Higgs gauge theory (CYMH GT), a theory introduced by Alexei Kotov and Thomas Strobl. This theory reformulates classical gauge theory, in particular, the Lie algebra (and its action) is generalized to a Lie algebroid $E$, equipped with a connection $ abla$, and the field strength has an extra term $ζ$. In the classical situation $E$ is an action Lie algebroid, $ abla$ is then the canonical flat connection with respect to such an $E$, and $ζ\equiv 0$. The shortened main results of this Ph.D.thesis are the following; see the abstract in the thesis itself for more information: 1. Reformulating curved Yang-Mills-Higgs gauge theory, also including a thorough introduction and a coordinate-free formulation. Especially the infinitesimal gauge transformation will be generalized to a derivation on vector bundle $V$-valued functionals, induced by a Lie algebroid connection. 2. We will discuss what type of connection for the definition of the infinitesimal gauge transformation should be used, and this is argued by studying the commutator of two infinitesimal gauge transformations, viewed as derivations on $V$-valued functionals. We take the connection on $W$ then in such a way that the commutator is again an infinitesimal gauge transformation. 3. Defining an equivalence of CYMH GTs given by a field redefinition. In order to preserve the physics, this equivalence is constructed in such a way that the Lagrangian of the studied theory is invariant under this field redefinition. It is then natural to study whether there are equivalence classes admitting representatives with flat $ abla$ and/or zero $ζ$, and we will do so especially for Lie algebra bundles, tangent bundles and their direct products as Lie algebroids.

研究の動機と目的

• 曲がったヤン・ミルズ・ヒッグスゲージ理論における無限小ゲージ変換を、古典的な平坦接続枠組みを超えて一般化すること。
• 標的束に任意の接続（特に標準的平坦接続に限らない）を許容する、座標に依存しないCYMH GTの定式化を構築すること。
• 無限小ゲージ変換の交換子がベクター束値汎関数上の微分作用素として閉じる条件を検討し、そのために標的束上の接続が平坦であること（必要十分条件）であることを同定すること。
• ラグランジアンを保存する場の再定義による同値関係をCYMH GTに定義し、物理的同値性に基づく理論の分類を可能にすること。
• 平坦接続と曲率項ζ = 0 を持つ代表元の存在を解析し、特に七次球面の接束やリー代数束のような特定の幾何的設定における位相的障害を同定すること。

提案手法

• ベクター束 W の場の写像による引き戻し V における V-値汎関数上の無限小ゲージ変換を微分作用素として形式化する。
• リー代数ダイアフレイド接続を用いて、W から V への接続の一般化された引き戻しを導入し、ゲージ変換の定義に非平坦接続を許容する。
• W = E および W = TN の場合に、標準的平坦接続ではなく、リー代数ダイアフレイドの基本接続を用いることで、基礎的なゲージ対称性をより自然に反映する。
• ラグランジアンを保存する場の再定義として、CYMH GTの同値性を定義し、物理的同値性を保証する。
• 二つの無限小ゲージ変換の交換子を微分作用素として扱い、W 上の接続が平坦であること（必要十分条件）であることを証明し、交換子が再び無限小ゲージ変換に閉じることを示す。
• 具体的な応用例として、E = TS⁷（七次球面）、E = リー代数束（LAB）、および R-値汎関数を検討し、この場合、ゲージ変換はリー微分に帰着する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標的束に非平坦接続が存在する場合、曲がったヤン・ミルズ・ヒッグス理論における無限小ゲージ変換の正しい幾何的定式化は何か？
• RQ2 二つの無限小ゲージ変換の交換子が再び無限小ゲージ変換であるための条件は何か？これは標的束上の接続にどのような意味を持つか？
• RQ3 場の再定義により曲率項ζを消去可能か？その際の位相的障害は何か？
• RQ4 各同値類に平坦接続∇を持つ代表元が存在可能か？これは局所的幾何と大域的幾何の両方にどのように依存するか？
• RQ5 ビアンキ恒等式の破綻と曲率項ζとの関係は何か？ζはこの破綻の測度として解釈可能か？

主な発見

• ベクター束値汎関数上の微分作用素として見た二つの無限小ゲージ変換の交換子が、ゲージ変換として閉じるための必要十分条件は、標的束 W 上の接続が平坦であることである。
• W = R の場合、無限小ゲージ変換は、場の空間上でのベクトル場のリー微分に帰着し、交換子はベクトル場のリー括弧に一致する。
• リー代数ダイアフレイドの基本接続（標準的平坦接続ではない）は、非可換な曲がったヤン・ミルズ・ヒッグス理論におけるゲージ変換のより自然かつ対称的な記述を提供する。
• 七次球面（TS⁷）の接束上では、同値類内に平坦接続を持つ代表元は存在しないが、局所的にはそのような代表元は存在する。
• リー代数束（LAB）では、平坦接続の存在がコhomology類によって大域的に障害を受ける。これはTS⁷の場合と同様の障害に類似している。
• 曲率項ζは、場強度のビアンキ恒等式の破綻として幾何的に解釈可能であり、ζ = 0 を持たない代表元を含む同値類に対し、自然な構成法が存在する。