[論文レビュー] Geometry of curves with exceptional secant planes

Ethan Cotterill|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、曲線の例外的接平面を研究するために、線形系列の対へとブリル・ノーザー理論を拡張する。一般の genus g の曲線がそのような平面をもたないことを証明する。また、家族における例外的線形系列の数を数えるための同調的公式を導出し、d-secant (d−2)-平面のための母関数を予想し、曲線のモジュライ空間における除数類を計算するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

We study curves with linear series that are exceptional with regard to their secant planes. Working in the framework of an extension of Brill-Noether theory to pairs of linear series, we prove that a general curve of genus g has no exceptional secant planes, in a very precise sense. We also address the problem of computing the number of linear series with exceptional secant planes in a one-parameter family in terms of tautological classes associated with the family. We obtain conjectural generating functions for the that admit d-secant (d−2)-planes. We also describe a strategy for computing the classes of divisors associated to exceptional secant plane behavior in the Picard group of the moduli space of curves in a couple of naturally-arising infinite families of cases, and we give a formula for the number of linear series with exceptional secant planes on a general curve equipped with a one-dimensional family of linear series. tautological coefficients of secant-plane formulas associated to series g 2d−1 m

研究の動機と目的

• 線形系列がその接平面に関して例外的であるような曲線を、拡張されたブリル・ノーザー理論の枠組みを用いて調査すること。
• 一般の genus g の曲線が、正確で幾何的な意味において、例外的接平面をもたないことを証明すること。
• 1パラメータ族を用いて、例外的接平面をもつ線形系列の数を同調的類を用いて計算すること。
• 曲線のモジュライ空間のピック群に関連する除数類を計算する戦略を開発すること。
• 1次元族の線形系列を備えた一般の曲線上の例外的線形系列の数の公式を提供すること。

提案手法

• 線形系列の対へのブリル・ノーザー理論の拡張により、例外的接平面の挙動を分析する。
• 1パラメータ族に関連する同調的類を用いて、例外的線形系列の数を計算する。
• 幾何的およびコホノロジー的技法を適用して、接平面配置の公式を導出する。
• 同調的係数を用いた、d-secant (d−2)-平面の数のための予想的な母関数を提示する。
• モジュライ空間のピック群における除数類を計算する戦略を、無限個のケースにおいて開発する。
• 交線論とモジュライ論的手法を用いて、線形系列の挙動を同調的類に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の genus g の曲線は、例外的接平面をもつのか？ もしあるならば、どのような条件下で？
• RQ2 1パラメータ族を用いて、同調的類を用いて、例外的接平面をもつ線形系列の数をどのように計算できるか？
• RQ3 genus g の曲線上の次数 2d−1、次元 m の線形系列に関連する接平面公式の同調的係数は何か？
• RQ4 例外的線形系列をもつ曲線における d-secant (d−2)-平面の数のための母関数を構成できるか？
• RQ5 1次元族のそのような系列を備えた一般の曲線上の例外的線形系列の数の公式は何か？

主な発見

• 一般の genus g の曲線は、例外的接平面をもたない。これは、正確な幾何的非存在結果を確認する。
• 本稿は、そのような系列の1次元族を備えた一般の曲線上の例外的接平面をもつ線形系列の数の公式を導出する。
• d-secant (d−2)-平面の数のための予想的な母関数を提示し、同調的係数を用いて表現する。
• 例外的接平面の挙動に関連する、曲線のモジュライ空間のピック群における除数類を計算する戦略が開発された。
• 1パラメータ族における例外的線形系列の数は、族の幾何から導かれる同調的類を用いて計算された。
• この枠組みにより、ブリル・ノーザー理論が線形系列の対へと成功裏に拡張され、例外的接平面配置の分析が可能になった。