[論文レビュー] Geometry of entanglement witnesses for two qutrits

Dariusz Chruściński, Filip Wudarski|arXiv (Cornell University)|May 24, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$M_3(\mathbb{C})$ 内の正の写像の凸集合を分析することで、2つのキューブリットに対するもつれ証人を幾何学的に特徴づける。境界の一部が $SO(2)$ 回転によってパラメータ化されていることが明らかになった。著者らは、これらの境界写像がもつれを検出するために最適であると仮説を立て、$O(2)$ 不適切回転によってパラメータ化される新しい種類の分解可能もつれ証人を導入する。

ABSTRACT

We characterize a convex subset of entanglement witnesses for two qutrits. Equivalently, we provide a characterization of the set of positive maps in the matrix algebra of 3 x 3 complex matrices. It turns out that boundary of this set displays elegant representation in terms of SO(2) rotations. We conjecture that maps parameterized by rotations are optimal, i.e. they provide the strongest tool for detecting quantum entanglement. As a byproduct we found a new class of decomposable entanglement witnesses parameterized by improper rotations from the orthogonal group O(2).

研究の動機と目的

• 2つのキューブリットに対するもつれ証人の凸集合を、$M_3(\mathbb{C})$ 内の正の写像の幾何学的性質を用いて特徴づけること。
• $SO(2)$ 回転が正の写像集合の境界をパラメータ化する役割を調査すること。
• これらの写像の（非）分解可能性およびもつれ検出における最適性を検討すること。
• 不適切な $O(2)$ 回転を用いて、新しい種類の分解可能なもつれ証人を構成すること。
• この族に属する正の写像の構造的対称性および自己双対性の性質を検討すること。

提案手法

• 著者らは、巡回行列構造と正規化係数 $N_{abc}$ を用いて定義される、$M_3(\mathbb{C})$ 内の1パラメータ族の正の写像 $\Phi[a,b,c]$ を分析する。
• 正の写像集合の境界に集中するため、$a + b + c = 2$ の制約を課し、パラメータ空間を $b$ と $c$ の2変数に削減する。
• パラメータ $(b,c)$ を平面内の楕円に写像することで幾何的構造を分析し、境界における $SO(2)$ 回転対称性を明らかにする。
• 自己双対性条件と関連する作用素の正定値性を用いて、写像の双対性および分解可能性を評価する。
• 不適切な $O(2)$ 回転を用いて、$ frac{W}[a,b,c]$ および $W_U[a,b,c]$ の明示的な行列形を導出し、新しい種類のもつれ証人を構成する。
• ユニタリ変換と凸結合を用いて新しい証人を生成し、それらの（非）分解可能性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $M_3(\mathbb{C})$ 内の正の写像の凸集合の境界は、どのように幾何学的に構造化されているか？
• RQ2 $SO(2)$ 回転によってパラメータ化される正の写像は、もつれを検出するために最適であるか？
• RQ3 $O(2)$ 不適切回転は、新しい分解可能なもつれ証人を生成する上で果たす役割は何か？
• RQ4 自己双対性と分解可能性は、正の写像集合の幾何的構造とどのように関係しているか？
• RQ5 異なる証人族の凸結合は、（非）分解可能性を保存するか、あるいは変化させるか？

主な発見

• $M_3(\mathbb{C})$ 内の正の写像の凸集合の境界は $SO(2)$ 回転によってパラメータ化されており、パラメータ空間を記述する楕円の方程式は $\frac{9}{4}\left(x-\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{3}{4}y^2 = 1$ である。
• $SO(2)$ 回転によってパラメータ化される写像は、最適であると仮説されている。これは、チョイ写像と還元写像—ともに既知の最適写像—がこのクラスに属するからである。
• 不適切な $O(2)$ 回転を用いて、新しい種類の分解可能なもつれ証人を構成した。$ frac{W}[a,b,c]$ の明示的な行列形が提供された。
• 証人 $ frac{W}[a,b,c]$ は分解可能かつ自己双対であるが、$W_U[a,b,c]$ — $W[a,b,c]$ のユニタリ変換 — は $b \neq c$ のとき非分解的である。
• 証人族 $W[a,b,c]$ と $ frac{W}[a,b,c]$ は、$a = b = c = \frac{2}{3}$ のみで交わる。これは楕円の中心に相当する。
• $W[\alpha]$ と $ frac{W}[\beta]$ の凸結合により新しいもつれ証人が得られるが、その（非）分解可能性は、使用する確率分布に非自明に依存する。