[論文レビュー] Geometry of generating functions and Lagrangian spectral invariants

Yong‐Geun Oh|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、閉じた内部を持つ閉じた部分集合から離れて支持されるハミルトニアンフローに対して、余接 bundle 内のハミルトニアン同倫におけるラグランジュスペクトル不変量の $C^0$-連続性を確立する。特に、フローが単位元に近づくとき、差 $ ho^{ ext{lag}}(H;1) - \rho^{ ext{lag}}(H;[\text{pt}]^\#)$ が消えることを証明する。また、基本位相関数 $f_H$ の特異性を取り扱うために、独創的な「崖壁手術」構成を導入し、ラグランジュフローコホモロジーを通じてスペクトル不変量とマイクロ局所幾何学を結びつける。

ABSTRACT

Partially motivated by the study of topological Hamiltonian dynamics, we prove various $C^0$-aspects of the Lagrangian spectral invariants and the basic phase functions $f_H$, that is, a natural graph selector constructed by Lagrangian Floer homology of $H$ (relative to the zero section $o_N$). In particular, we prove that $$ γ^{lag}(ϕ_H^1(o_N)): = ρ^{lag}(H;1) - ρ^{lag}(H;[pt]^\#) o 0 $$ as $ϕ_H^1 o id$, \emph{provided} $H$'s satisfy $\supp X_H \subset D^R(T^*N) \setminus o_B$ for some $R > 0$ and a closed subset $B \subset N$ with nonempty interior. We also study the relationship between $f_H$ and $ρ^{lag}(H;1)$ and prove a structure theorem of the micro-support of the singular locus $\Sing(σ_H)$ of the function $f_H$. Based on this structure theorem and a classification theorem of generic Lagrangian singularity in $\dim N = 2$ obtained by Arnold's school, we define the notion of cliff-wall surgery when $\dim N = 2$: the surgery replaces a multi-valued Lagrangian graph $ϕ_H^1(o_N)$ by a piecewise-smooth Lagrangian cycle that is canonically constructed out of the single valued branch $Σ_H: = \Graph df_H \subset ϕ_H^1(o_N)$ defined on an open dense subset of $N \setminus \Sing(σ_H)$ of codimension 1.

研究の動機と目的

• 余接 bundle 内のハミルトニアン力学の文脈において、ラグランジュスペクトル不変量の $C^0$-連続性を確立すること。
• ゼロセクションのハミルトニアン同倫に関連する基本位相関数 $f_H$ の幾何を分析すること。
• 次元 2 における多価ラグランジュグラフを、特異点のマイクロサポーティングに従って、一価部分の $\operatorname{Graph} df_H$ から構成される標準的で区分的滑らかなラグランジュサイクルに変換する新しい手術操作「崖壁手術」を定義・研究すること。
• 比較定理を用いて、スペクトル不変量 $\rho^{\text{lag}}(H;1)$ をハミルトニアンフローの $C^0$-ノルムと関連付けること。

提案手法

• ラグランジュフローコホモロジーを用いて、$T^*N$ 内のラグランジュ部分多様体に対するスペクトル不変量 $\rho^{\text{lag}}(H;\alpha)$ を定義する。
• 生成関数を介してグラフ選択子として基本位相関数 $f_H$ を構成し、ゼロセクションの像 $\phi_H^1(o_N)$ を符号化する。
• 波面 $\sigma_H$ の特異点集合 $\operatorname{Sing}(\sigma_H)$ のマイクロサポーティングの構造定理を証明する。
• 次元 2 において、$\phi_H^1(o_N)$ の多価部分を、$N \setminus \operatorname{Sing}(\sigma_H)$ 上の一価部分 $\operatorname{Graph} df_H$ から構成される標準的で区分的滑らかなラグランジュサイクルに置き換えることで、「崖壁手術」を導入する。
• 三角不等式および $L^{(1,\infty)}$-近似技術を用いて、摂動下でのスペクトル不変量を制御する。
• $C^0$-距離および振幅推定を用いて、主な連続性結果を証明する：$\rho^{\text{lag}}(H;1) - \rho^{\text{lag}}(H;[\text{pt}]^\#) \leq 2 \cdot \frac{\operatorname{osc} f}{C_{(f;B,T)}} \cdot \operatorname{osc}_{C^0}(\phi_H^1; o_N)$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン同倫が $T^*N$ 内のゼロセクションに対して $C^0$-小であるとき、ラグランジュスペクトル不変量 $\rho^{\text{lag}}(H;1) - \rho^{\text{lag}}(H;[\text{pt}]^\#)$ はどのように振る舞うか？
• RQ2 基本位相関数 $f_H$ の特異点集合 $\operatorname{Sing}(\sigma_H)$ の幾何的構造は何か？ また、ラグランジュ像 $\phi_H^1(o_N)$ の位相的性質とどのように関係するか？
• RQ3 次元 $\dim N = 2$ のとき、$T^*N$ 内の多価ラグランジュグラフに対して、一意的で良好な振る舞いを示す標準的ハンドリング操作を定義できるか？
• RQ4 特に、フローが $N$ の非自明な部分集合から離れて支持される場合に、スペクトル不変量は $C^0$-ノルムによってどの程度制御可能か？
• RQ5 スペクトル不変量 $\rho^{\text{lag}}(H;\alpha)$ は、ハミルトニアンの合成および摂動に対してどのように振る舞うか？

主な発見

• フローが単位元に近づくとき、差 $\rho^{\text{lag}}(H;1) - \rho^{\text{lag}}(H;[\text{pt}]^\#)$ は 0 に収束する。ただし、$\operatorname{supp} X_H \subset D^R(T^*N) \setminus o_B$ を満たす $R > 0$ および内部を持つ閉じた部分集合 $B \subset N$ が存在するものとする。
• スペクトル不変量 $\rho^{\text{lag}}(H;1)$ は、$B$ 上に台を持つ関数 $f$ に対して、$\rho^{\text{lag}}(H\#(f\circ\pi);1) + 2\operatorname{osc} f$ で上から抑えられる。
• すべての $H$ について、支持条件を満たす限り、不等式 $\rho^{\text{lag}}(H;1) - \rho^{\text{lag}}(H;[\text{pt}]^\#) \leq 2 \cdot \frac{\operatorname{osc} f}{C_{(f;B,T)}} \cdot \operatorname{osc}_{C^0}(\phi_H^1; o_N)$ が成り立つ。
• 特異点集合 $\operatorname{Sing}(\sigma_H)$ のマイクロサポーティングに関する構造定理が確立され、次元 2 における「崖壁手術」の定義が可能になる。
• 崖壁手術は、$N \setminus \operatorname{Sing}(\sigma_H)$ 上の一価グラフ $\operatorname{Graph} df_H$ から構成される標準的で区分的滑らかなラグランジュサイクルを用いて、$\phi_H^1(o_N)$ の多価部分を置き換える。
• $L^{(1,\infty)}$-位相における近似およびラグランジュフローコホモロジーにおける三角不等式の使用により、スペクトル不変量の $C^0$-連続性が証明された。