[論文レビュー] Geometry of Graph Edit Distance Spaces

Brijnesh J. Jain|arXiv (Cornell University)|May 29, 2015

Graph Theory and Algorithms参考文献 30被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、グラフ上の統計的パターン認識のための幾何的基盤を確立するために、グラフ表現定理を証明している。この定理は、グラフが軌道空間（orbit space）内の点として表現可能であることを示しており、これはよく理解された幾何的構造である。これにより、グラフ編集カーネル空間における距離、角度、長さ、直交性といった主要な幾何的概念の導出が可能となり、グラフ上の統計的解析と分類が促進される。

ABSTRACT

In this paper we study the geometry of graph spaces endowed with a special class of graph edit distances. The focus is on geometrical results useful for statistical pattern recognition. The main result is the Graph Representation Theorem. It states that a graph is a point in some geometrical space, called orbit space. Orbit spaces are well investigated and easier to explore than the original graph space. We derive a number of geometrical results from the orbit space representation, translate them to the graph space, and indicate their significance and usefulness in statistical pattern recognition.

研究の動機と目的

• 複雑なグラフ構造データに対する構造的パターン認識手法と統計的パターン認識手法の間の長年のギャップを埋める。
• 統計的解析を妨げる、グラフ編集距離空間にしっかりした幾何的フレームワークが欠如しているという問題を克服する。
• グラフをよく知られた幾何的空間—軌道空間—内の点として表現することで、統計的グラフ解析のための数学的基盤を提供する。
• グラフ構造データへの平均計算、直交性、線形分類などの統計的手法の適用を可能にする。
• 等長埋め込みを通じて、グラフ編集カーネル空間の幾何的直感と計算ツールの開発を促進する。

提案手法

• 任意の集合（実数値、記号、ベクトルを含む）からのノードおよびエッジ属性を有する属性付きグラフを導入する。
• 内積によって誘導される特別なクラスのグラフ編集距離として、グラフ編集カーネル空間を定義し、より豊かな幾何的構造を可能にする。
• グラフ表現定理（定理3.1）を確立し、等長埋め込みを介して各グラフが軌道空間内の点に対応することを証明する。
• 群作用とディリクレ基本領域を用いて、軌道空間の幾何を特徴づけ、局所的性質を導出する。
• グラフ空間が測地線空間であることを証明し、この文脈におけるコーシー＝シュワルツの不等式の弱い形を導出する。
• 一般のグラフの周囲に等長コーン（ハイパーコーン）の概念を導入し、空間が局所的に凸多面体コーンに類似していることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ編集距離空間に、統計的解析を支援する幾何的構造をどのように与えることができるか？
• RQ2 グラフ編集カーネル空間の幾何と、よく理解された軌道空間の幾何の関係は何か？
• RQ3 長さ、角度、直交性といった幾何的概念は、グラフ編集カーネル空間で意味的に定義され、計算可能か？
• RQ4 グラフの標本平均はどのような条件下で存在し、一意的または一貫性を持つのか？
• RQ5 グラフを軌道空間に等長埋め込むことで、グラフ編集カーネルおよび関連する距離の解析がどのように簡素化されるか？

主な発見

• グラフ表現定理により、すべてのグラフが軌道空間内の点に対応することが確立され、整備された幾何的ツールの使用が可能になる。
• グラフ編集カーネル空間が測地線空間であることが示され、最短経路と意味のある距離測度の定義が可能になる。
• グラフ編集カーネル空間では、コーシー＝シュワルツの不等式の弱い形が成り立つため、内積に基づく解析が支援される。
• 一般のグラフの観点から見ると、空間は局所的に凸多面体コーンに類似しており、局所構造に対する幾何的直感が得られる。
• ユークリッド空間への等長埋め込みにより、長さ、角度、直交性といった主要な幾何的概念が、グラフとその像の間で保存される。
• 標本平均の存在性、一意性、一貫性は、軌道空間表現とグラフ表現定理の弱い形を用いて分析可能である。