[論文レビュー] Geometry of Kähler Metrics and Foliations by Holomorphic Discs

Xijuan Chen, Gang Tian|ArXiv.org|Jul 7, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、正則な円板によるfoliationを用いて、同次複素Monge-Ampère方程式の新しい部分的正則性理論を確立し、ホロモルフィック自己同型を除いて extremal Kähler 計量の一意性の証明およびコンパクトKähler多様体上での修正K-energy汎関数の下界を示した。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to establish a completely new partial regularity theory on certain homogeneous complex Monge-Ampere equations. Our partial regularity theory will be obtained by studying foliations by holomorphic curves and and their relations to homogeneous complex Monge-Ampere equations. As applications, we will prove the uniqueness of extremal Kähler metrics and give an necessary condition for existence of extremal Kähler metrics. Further applications will be discussed in our forthcoming papers.

研究の動機と目的

• 正則な円板によるfoliationを用いて、同次複素Monge-Ampère方程式の新しい部分的正則性理論を構築すること。
• 与えられたKähler類内での extremal Kähler 計量の一意性（ホロモルフィック自己同型を除く）を確立すること。
• 修正K-energyの非負性を用いて、定スカラー曲率Kähler計量の存在の必要条件を提示すること。
• 有限容量を持つほぼスーパー正則な正則円板の正則性およびコンパクト性の性質を分析すること。
• Kähler計量の経路に沿ったK-energy汎関数の下への強調性および有界性を証明すること。

提案手法

• 全実境界条件を満たす正則円板によるKähler計量空間のfoliationを構成すること。
• Semmesの構成を適用して、foliationの幾何学的性質と同次複素Monge-Ampère方程式の解との関係を関係づけること。
• 正則円板の変形理論を用いて、普遍モジュライ空間の正則性を示し、一般の経路の選択を行うこと。
• ほぼスーパー正則foliationの概念を導入し、有限容量制約下でのコンパクト性を証明すること。
• 葉に沿った曲率方程式を分析して、ヘルミート的曲率公式を導出し、幾何的挙動を制御すること。
• 体積形式の強い収束補題を適用し、K-energy汎関数の$C^{1,1}$最小化子に関する正則性定理を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則円板によるfoliationを用いて、同次複素Monge-Ampère方程式の部分的正則性理論を構築できるか？
• RQ2 Kähler計量の経路に沿ってK-energy汎関数は下への強調性を示すか？そしてこれは最小化子に何を意味するか？
• RQ3 与えられたKähler類内での extremal Kähler 計量の一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 修正K-energyが下から有界であるための条件は何か？そしてこれは定スカラー曲率Kähler計量の存在性とどのように関係するか？
• RQ5 Kähler幾何の文脈において、有限容量を持つ正則円板のコンパクト性および正則性を確立できるか？

主な発見

• 任意の滑らかなKähler計量の経路に沿ってK-energy汎関数は下への強調性を示し、その経路に沿って有界であることを示唆する。
• 定スカラー曲率Kähler計量を有する任意のKähler計量に対して、修正K-energyは0以上に有界であり、存在の必要条件を確認した。
• $C^{1,1}$最小化子は弱い正則性を示し、弱いKählerリッチフローはこの正則性を保存する。
• 有限容量を持つほぼスーパー正則な正則円板の空間はコンパクトであり、列の収束を保証する。
• Grassmannian $\mathrm{Gr}^{(n)}$ 内の部分多様体 $\Sigma_{\mathbf{k}}$ のcodimensionは $\sum_{i<j}|k_i - k_j| - \varrho(\mathbf{k})$ で与えられ、ここで $\varrho(\mathbf{k})$ は $\mathbf{k}$ 内の反転数である。
• 正則円板によるfoliationは、$\Sigma_{\mathbf{k}}$ 上に可縮な部分多様体構造を誘導し、ループ群 $\mathcal{L}GL_n(\mathbb{C})$ 内に明確なBirkhoff型分解を有する。