[論文レビュー] Geometry of Kaehler metrics and holomorphic foliation by discs

Xiuxiong Chen, Gang Tian|ArXiv.org|Sep 22, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ケーラー幾何におけるホロモルフィックな円盤によるfoliationと関連するヘルミートバンドルの曲率推定を用いて、同次複素マソン＝アーベル方程式の部分的正則性理論を確立する。主な貢献は、正則変換の下での極小ケーラー計量の一意性の証明および、Kエネルギー汎関数のpropernessを用いた定スカラー曲率ケーラー計量の存在に対する必要条件の導出である。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to establish a partial regularity theory on certain homogeneous complex Monge-Ampere equations. As consequences of this new theory, we prove the uniqueness of extremal Kaehler metrics and give an necessary condition for existence of extremal Kaehler metrics.

研究の動機と目的

• ケーラー幾何における同次複素マソン＝アーベル方程式の部分的正則性理論を確立すること。
• 与えられたケーラー類内における極小ケーラー計量の一意性を正則変換の下で証明すること。
• Kエネルギー汎関数を用いて定スカラー曲率ケーラー計量の存在に対する必要条件を導出すること。
• 修正されたエネルギー汎関数を用いて、Kエネルギーおよびその凸性の解析を極小計量へと拡張すること。
• 超正則なホロモルフィック円盤に対する容量推定および曲率評価を構築し、コンパクト性と正則性を保証すること。

提案手法

• 解の境界条件を伴う $\Sigma \times M$ 上の複素マソン＝アーベル方程式 $(\pi_2^*\omega + \partial\bar\partial\phi)^{n+1} = 0$ を分析する。
• ケーラー潜在変数空間内の測地線的経路に沿ったKエネルギーとその凸性を、円盤によるホロモルフィックfoliationを用いて研究する。
• 無限大ストリップを円盤で近似する解に沿って導かれる有界なsubharmonic関数に最大原理を適用する。
• 超正則なホロモルフィック円盤による引き戻しによって得られるヘルミートバンドルの曲率推定を確立し、非正曲率を示す。
• 曲率のトレースに関する微分不等式を用いて、$f^*\omega^n_\phi / f^*\omega^n$ の比に対するハルナック型不等式を導出する。
• 超正則な円盤のための容量汎関数を導入し、一様な容量評価のもとでのコンパクト性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的解析的手法を用いて、固定されたケーラー類内における極小ケーラー計量の一意性を同定することは可能か？
• RQ2 Kエネルギー汎関数のpropernessを保証する条件は何か？ そして、これは定スカラー曲率ケーラー計量の存在とどのように関係するか？
• RQ3 ホロモルフィックな円盤によるfoliationは、同次複素マソン＝アーベル方程式の解の正則性および曲率をどのように制御できるか？
• RQ4 超正則な円盤上への引き戻しによるヘルミートバンドルの曲率が正則性理論において果たす役割は何か？
• RQ5 超正則な円盤の列が超正則な極限に収束する条件は何か？ そして、これは容量評価とどのように関連するか？

主な発見

• 定理1.1で述べられるように、与えられたケーラー類内における極小ケーラー計量の一意性は正則変換の下で成立する。
• 定理1.2で証明されたように、すべての $\varphi$ に対して $\omega_\varphi > 0$ を満たすとき、Kエネルギー汎関数 $\mathbf{E}_\omega(\varphi)$ は非負である。
• 超正則なホロモルフィック円盤上でのヘルミートバンドルの曲率は非正であり、曲率が消えるのは円盤に沿ったfoliationが正則である場合に限る。
• 境界および容量評価を用いて、内部挙動を制御する $f^*\omega^n_\phi / f^*\omega^n$ の比に対するハルナック型不等式が導出された。
• 超正則な円盤の列の容量が一様に有界であるならば、その極限円盤も超正則であることが示され、定理1.12で述べられている。
• バンドル $\mathcal{E}$ の正則セクションのノルムに最大原理を適用することで、解 $\phi$ に対する $C^{1,1}$-評価が確立された。