[論文レビュー] Geometry of Metrics

Матти Вуоринен|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 55被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、2次元複素解析における双曲型計量の概念を、共形不変性が成立しない$n$次元ユークリッド空間へ拡張することを目的としており、特に準双曲的、アポロニウス型、および$j_G$計量の幾何的性質—凸性、球の直径、測地線の挙動—に注目している。$j$-球が半径$M \leq \log 2$のときのみ凸であることが示され、非測地的空間における計量球の凸性や計量不変性に関する未解決問題が提示されている。

ABSTRACT

During the past thirty years hyperbolic type metrics have become popular tools also in modern mapping theory, e.g., in the study of quasiconformal and quasiregular maps in the euclidean $n$-space. We study here several metrics that one way or another are related to modern mapping theory and point out many open problems dealing with the geometry of such metrics.

研究の動機と目的

• 2次元複素解析における双曲計量の概念を、共形不変性が成立しない$n$次元ユークリッド空間へ拡張すること。
• 境界を持つ領域における一般化計量（準双曲的、アポロニウス型、$j_G$計量）の幾何的性質を研究すること。
• 非測地的計量空間における計量球の凸性および直径の挙動を調査すること。
• 穴あき空間および平面領域における計量不変性、球の連結性、計量幾何に関する未解決問題を同定すること。

提案手法

• 直線的経路$\gamma$に沿って、$k_G(x,y) = \int_{\gamma} \frac{ds}{\delta_G(z)}$で定義される準双曲的計量を用いる。ここで$\delta_G(z)$は点$z$から境界$\partial G$までの距離である。
• $j_G(x,y) = \log\left(1 + \frac{|x-y|}{\min\{\delta_G(x), \delta_G(y)\}}\right)$で定義される$j_G$計量を分析し、非測地的かつ非対称な性質に注目する。
• 穴あき空間${\mathbb{R}}^n \setminus \{0\}$および平面領域における$j$-球および$k$-球の凸性を、計量幾何の定理を用いて研究する。
• 比較幾何および計量埋め込み技法を用い、$({\mathbb{R}}^2\setminus\{0\}, k)$を${\mathbb{R}}^3$内の円柱面とみなす。
• $d(x,y)^a$および$d(x,y)^b$を含む不等式を用いて新しい計量を定義し、三角不等式の性質を分析する。
• FrinkおよびPaluszynski–Stempakの結果を応用し、非標準計量を同相写像を介して等価な標準計量に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの領域および半径に対して、$j_G$-球$B_j(x,M)$は凸となるか？
• RQ2 十分小さい$M$に対して、$j_G$-球面$\partial B_j(0,M)$の直径は$2M$に等しいか？
• RQ3 すべての$M \in (0, M_0]$に対して$k(\partial B_k(x,M)) = 2M$が成り立つような普遍的な$M_0 > 0$が存在するか？
• RQ4 有限個の境界点を持つ領域における準双曲的幾何に、余弦定理を一般化できるか？
• RQ5 非測地的計量空間において、$j_G$-球が連結となる条件は何か？

主な発見

• $j$-球$B_j(x,M)$は、${\mathbb{R}}^n \setminus \{0\}$において、$M \leq \log 2$である場合に限り凸である。
• すべての$M > 0$に対して、$j_G$-球面$\partial B_j(0,M)$の直径は$2M$未満であるため、$j_G$は測地的でない。
• 穴あき平面${\mathbb{R}}^2 \setminus \{0\}$における準双曲的円板$B_k(x,M)$は、$M \leq 1$のときかつそのときに限り、厳密に凸である。
• 穴あき平面${\mathbb{R}}^2 \setminus \{0\}$において、準双曲的計量は、$4\pi(\pi - \alpha)$の補正項を含む修正された余弦定理を満たす。
• 三角形$\triangle_k(x,y,z)$の準双曲的面積は、ヘロンの公式に類似した式で与えられる：$\sqrt{s(s - k(x,y))(s - k(y,z))(s - k(z,x))}$、ただし$s = (k(x,y) + k(y,z) + k(z,x))/2$である。
• 半平面$\mathbb{H}^2$において、準双曲的計量は余弦不等式を満たす：$k(x,y)^2 \geq k(x,z)^2 + k(y,z)^2 - 2k(x,z)k(y,z)\cos\gamma$、ここで$\gamma$は測地線のなすユークリッド角である。