[論文レビュー] Geometry of null hypersurfaces

Jacek Jezierski|ArXiv.org|May 19, 2004

Mathematics and Applications参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ローレンツ的時空内の光的超曲面に対して、スカラー密度としての「標準ADM運動量類似物」と呼ばれる明確に定義されたテンソル密度を導入することにより、幾何的枠組みを構築する。この対象を用いてガウス・コダージュ方程式を再定式化し、ボンドィ・コーンへの応用を示す。その結果、初期データが $ \chi_{AB} $ のような自由データによって決定されることを示し、一般相対性理論における光的境界における一貫性のある初期値問題の定式化が可能になる。

ABSTRACT

We review some basic natural geometric objects on null hypersurfaces. Gauss-Codazzi constraints are given in terms of the analog of canonical ADM momentum which is a well defined tensor density on the null surface. Bondi cones are analyzed with the help of this object.

研究の動機と目的

• 光的超曲面上でのADM運動量に類似した、スケーリングの選択に依存しない内在的幾何的対象を定義すること。
• この内在的テンソル密度を用いてガウス・コダージュ方程式を再定式化し、退化した光的超曲面上でも幾何的に意味のある制約が保たれることを保証すること。
• 漸近的に平坦な時空におけるボンドィ・コーンにこの形式を適用し、多項的同次およびコンパクト化可能なデータを用いて、$ (g_{ab}, Q^a_{\ b}) $ の明示的表現を導出すること。
• 光的コーン上での初期データが $ \chi_{AB} $ のような自由データによって決定されることを確立し、重力放射および光的初期値問題におけるボンドィ・サースのアプローチと整合させること。

提案手法

• 光的超曲面 $ N $ に接する零ベクトル場 $ K $ による商バンドル $ TN/K $ を導入し、誘導計量 $ h $ を用いて2次元リーマン構造を定義する。
• 零のウェイングルテンソル $ b_K $ 及びその対称双線形形式 $ B_K $（零の第二基本形式を表す）を定義し、$ K $ のスケーリング変換に対する変換則を示す。
• アインシュタインテンソル密度 $ \mathcal{G}^\perp_\ \ b $ から導かれるテンソル密度 $ Q^a_{\ b}(K) $ を、光的超曲面上の内在的対象として構成する。
• ボンドィ・サース座標系にこの形式を適用し、$ u = \text{const} $ 上の光的超曲面上で $ Q^a_{\ b}(K) $ を明示的に計算する。その際、計量のアンサッツと零ベクトル場 $ K = e^{-2\beta}x^2 \partial_x $ を用いる。
• $ h_{AB} $, $ \beta $, $ U^A $ の多項的同次および共形的に $ C^1 \times C^0 $-コンパクト化可能な漸近的展開を用いて、$ Q^a_{\ b}(K) $ 及び $ g_{ab} $ の漸近的表現を導出する。
• レイチャウドフリ方程式をガウス・コダージュ制約の一部として導出し、零エネルギー条件および測地的完全性と整合していることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ的時空内の光的超曲面上での、標準ADM運動量に類似した内在的対象は何か？
• RQ2 零ベクトル場の選択に依存しない、光的超曲面上でのガウス・コダージュ方程式の内在的表現はどのように得られるか？
• RQ3 ボンドィ・コーン上での初期データは何か？ そして、漸近的領域において自由データによってどのように決定されるか？
• RQ4 テンソル密度 $ Q^a_{\ b}(K) $ を用いて、空間的および光的成分を含む切断された領域上での初期値問題に対する変分原理を定式化できるか？

主な発見

• 標準運動量類似物 $ Q^a_{\ b}(K) $ は、光的超曲面上で明確に定義されたテンソル密度であり、零ベクトル場 $ K $ のスケーリングに依存しないため、幾何的に内在的対象である。
• 光的超曲面上のガウス・コダージュ方程式は、$ \overline{\nabla}_a Q^a_{\ b}(K) + s v_K \partial_b (\partial_c \Lambda^c / v_K) = -\mathcal{G}^\perp_\ \ b $ の形に再定式化され、左辺は完全に内在的な幾何的対象である。
• ボンドィ・コーン上では、$ sQ^A_{\ B}(K) $ 及び $ sQ^x_{\ A}(K) $ の成分が明示的に計算され、漸近的に自由データ $ \chi_{AB} $ によって決定されていることが示され、$ sQ^A_{\ B}(K) = x^{-2} \sin\theta (x^{-1}\delta^A_\ B - \chi^A_\ B + O(x^2)) $ である。
• ボンドィ・コーン上の内在的計量 $ g_{AB} $ は、$ g_{AB} = x^{-2}(\breve{h}_{AB} + x\chi_{AB} + O(x^2)) $ として得られ、期待される漸近的挙動を確認する。
• 標準データの漸近的挙動は、すべて $ \chi_{AB} $ によって支配され、標準的なボンドィ・サース初期値定式化と整合している。
• この形式は、空間的および光的両方の部分を含む切断された表面における初期データのための変分原理を支持しており、$ Q^a_{\ b}(K) $ が主要な幾何的対象として機能する。