[論文レビュー] Geometry of orbit closures for the representations associated to gradings of Lie algebras of types $E_7$

Witold Kraśkiewicz, Jerzy Weyman|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、E7リー代数のZ-順序に基づく型I表現の軌道閉包を分類し、Vinbergの枠組みを用いて、ヒルベルト多項式の計算、正規性、コhen＝マカウレイおよびゴレンシュタイン性の特定、軌道閉包の自由分解と定義イデアルの提供を行う。具体的な計算はコンピュータ代数システムとBuchsbaum-Eisenbudの基準により検証されている。

ABSTRACT

This paper is a continuation of arXiv:1201.1102. We investigate the orbit closures for the class of representations of simple algebraic groups associated to various gradings on the simple Lie algebra of type $E_7$. The methods for classifying the orbits for these actions were developed by Vinberg . We give the orbit descriptions, the degeneration partial orders, and indicate normality of the orbit closures. We also investigate the rational singularities, Cohen-Macaulay and Gorenstein properties for the orbit closures. We give the information on the defining ideals of orbit closures.

研究の動機と目的

• E7リー代数のZ-順序に基づく型I表現の軌道閉包を分類すること。
• 正規性、Cohen-Macaulay性、Gorenstein性、有理的特異点を含む、軌道閉包の幾何的・代数的性質を特定すること。
• 軌道閉包の座標環およびその正規化のヒルベルト多項式を計算すること。
• 表現論的および計算的手法を用いて、座標環の定義イデアルと自由分解を記述すること。
• コンピュータ代数システムおよびBuchsbaum-Eisenbudの完全性基準を用いて結果を検証すること。

提案手法

• 軌道の2通りの記述（Vinbergのもの）を用いる：g1におけるノルム的軌道の交わりの既約成分としての記述、およびサポート部分代数による記述。
• G/Pフラッグ多様体上の同次ベクトル bundle の全空間を用いた、軌道閉包の幾何的正則化。
• 計算ツール（Macaulay2、Python、カスタムルート／重みプログラム）を用いて、オイラー特性、ヒルベルト級数、分解を計算する。
• 提案された座標環の自由分解の完全性を検証するために、Buchsbaum-Eisenbud基準を適用する。
• E6およびE7の表現論（基本表現、最高ウェイトモジュールを含む）を活用する。
• 座標環の構造を、表現空間上の可換なモジュールとして分析し、分解における明示的な項を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 E7リー代数のZ-順序における表現g1において、どの軌道閉包が生じ、どのようにパrameter化されるか？
• RQ2 軌道閉包の正規化のヒルベルト多項式は何か？幾何的性質をどのように示唆するか？
• RQ3 軌道閉包が正規的、Cohen-Macaulay的、Gorenstein的、または有理的特異点を持つのはどのような条件下か？
• RQ4 軌道閉包の定義イデアルは何か？また、3次不変量∆のような不変量とどのように関係するか？
• RQ5 軌道閉包の座標環が表現環上の自由モジュールとして分解可能か？その分解の項は何か？

主な発見

• コディメンジョン9（O4）の軌道閉包は正規的であり、有理的特異点を持つ。その定義イデアルは3次および4次多項式によって生成される。
• (E7, α7)の場合、最高の軌道閉包¯O1は長さ15の自由分解を持ち、E6の基本表現モジュール[a,b,c,d,e,f]の明示的項を持つ。
• (E7, α7)におけるC[¯O1]の分解は明示的に計算され、0 → [0,0,0,0,0,0](−15) → ... → [0,0,0,0,0,0] であり、[G11]および[SW13]で検証済み。
• Xdisc.がヒューパーシューフェースであるのは、不変式環Sym(g*1)^(G,G)が単一の不変量∆によって生成される場合に限る。それ以外の場合はコディメンジョン>1を持つ。
• 軌道閉包が球面的であるのは、そのサポート代数sがA1単純成分のみを含む場合に限る。
• 軌道閉包が正規的でない場合、その正規化はg1 ⊕ gi（i > 1）に非自明に埋め込まれており、高次の順序成分における非自明な埋め込みを示している。