[論文レビュー] Geometry of orbit spaces of proper Lie groupoids

Markus J. Pflaum, Hessel Posthuma+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、任意の固有リー群ガロアの軌道空間に対して、標準的なホイットニーB層構造と滑らかな制御データを確立し、軌道空間に特徴的なリーマン計量を構成して特異リーマン的foliationを誘導し、軌道空間が長さ空間かつ三角形分割可能であることを証明するとともに、基本コホモロジーに対するde Rham定理を示し、商がコンパクトのときにはそれが有限次元であることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we study geometric properties of quotient spaces of proper Lie groupoids. First, we construct a natural stratification on such spaces using an extension of the slice theorem for proper Lie groupoids of Weinstein and Zung. Next, we show the existence of an appropriate metric on the groupoid which gives the associated Lie algebroid the structure of a singular riemannian foliation. With this metric, the orbit space inherits a natural length space structure whose properties are studied. Moreover, we show that the orbit space of a proper Lie groupoid can be triangulated. Finally, we prove a de Rham theorem for the complex of basic differential forms on a proper Lie groupoid.

研究の動機と目的

• 固有リー群ガロアの軌道空間の一般理論を構築し、既知の固有リー群作用に関する結果を拡張すること。
• ズンの線形化定理における制限的仮定（有限型、源局所自明性）を除去すること。
• 軌道空間に自然な計量構造を構成し、曲率の下限が存在する場合には長さ空間およびアレクサンドロフ空間の構造を引き継ぐことの証明。
• 軌道空間が三角形分割可能であることを証明し、これにより良い被覆が存在し、コホモロジー的解析が可能になることの証明。
• 固有リー群ガロア上の基本微分形式の複体に対するde Rham定理を確立し、商がコンパクトのときには基本コホモロジーが有限次元であることを示すこと。

提案手法

• ウェインシュタインおよびズンによるスライス定理の拡張を用いて、有限型や源局所自明性を仮定しないで、軌道空間上に標準的なホイットニーB層構造を構成する。
• リー群ガロア上での、各軌道の正規バンドルに対する群ガロア作用に関して不変な、横断的に不変なリーマン計量の概念を導入する。
• 任意の固有リー群ガロアに、完全な横断的に不変なリーマン計量が存在することを証明する。
• 計量チューブ近傍定理を確立し、連続関数によって制御される近傍上で、線形化群ガロアと局所的に同型であることを示す。
• 射影から自然な計量を定義するサブメトリックを用い、それが長さ空間であり、曲率が下から有界であればアレクサンドロフ空間であることを示す。
• 滑らかな制御データによる軌道空間の三角形分割を用いて、基本コホモロジーに対するde Rham定理を証明し、特異コホモロジーと同一視する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限型や源局所自明性を仮定しないで、任意の固有リー群ガロアの軌道空間に標準的なホイットニーB層構造を定義できるか？
• RQ2 任意の固有リー群ガロアは横断的に不変なリーマン計量を持つのか？ また、そのような計量はユニット空間上に特異リーマン的foliationを誘導するのか？
• RQ3 軌道空間に自然な計量構造を定義できるか？ どのような条件下でそれは長さ空間またはアレクサンドロフ空間であるか？
• RQ4 固有リー群ガロアの軌道空間は三角形分割可能か？ そのトポロジー的帰結は何か？
• RQ5 固有リー群ガロア上の基本微分形式の複体に対してde Rham定理が成り立つか？ また、商がコンパクトのとき、基本コホモロジーは有限次元か？

主な発見

• 任意の固有リー群ガロアの軌道空間は、モリタ同値を除いて群ガロアの提示に依存しない、滑らかな制御データを備えた標準的なホイットニーB層構造を持つ。
• 任意の固有リー群ガロアは横断的に不変なリーマン計量を持つ。ユニット空間には、軌道の連結成分が葉となる特異リーマン的foliationが存在する。
• 任意の軌道に対して、その上に群ガロアが線形化と局所的に同型である計量チューブ近傍が存在する。これはスライス定理の一般化である。
• ユニット空間から軌道空間への標準的射影はサブメトリックであるため、軌道空間は長さ空間であり、曲率が下から有界であればアレクサンドロフ空間である。
• 軌道空間は三角形分割可能であり、これにより任意に細かい良い被覆が存在し、特異コホモロジーと基本複体のコホモロジーとを同一視できる。
• 固有リー群ガロアの基本コホモロジーに対してde Rham定理が成り立つ：それは軌道空間の特異コホモロジーと同型であり、商がコンパクトのときには有限次元である。