[論文レビュー] Geometry of positive scalar curvature on complete manifold

Bo Zhu|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2022

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非コンパクトで完全な多様体における正のスカラー曲率と幾何的サイズの相互作用を、非負リッチ曲率のもとで考察する。Gromov-Hausdorff収束、リプシッツ写像技術、曲率推定を用いて、3次元多様体におけるBusemann関数の等高線集合の体積成長の上限と一様な直径制御を確立し、コンパクト性がなくても正のスカラー曲率が大域的幾何に制限を加えることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we study the interplay of geometry and positive scalar curvature on a complete, non-compact manifold with non-negative Ricci curvature. In three-dimensional manifold, we prove a minimal volume growth, an estimate of integral of scalar curvature and width. In higher dimensional manifold, we obtain a volume growth with a stronger condition.

研究の動機と目的

• 完全で非コンパクトなリーマン多様体において、正のスカラー曲率が非負リッチ曲率のもとで大域的幾何に与える制約を理解すること。
• スカラー曲率の積分の漸近的挙動に関するYauの未解決問題を扱うこと。特に、体積成長との相関関係について。
• 正のスカラー曲率と非負リッチ曲率のもとで、3次元多様体におけるBusemann関数の等高線集合の直径に一様な上限を与えること。
• 閉多様体で得られた結果を非コンパクトな状況に拡張し、注進半径または共役半径の上限が保たれるかを検討すること。
• 非負リッチ曲率のもとで、共役半径と体積を用いたスカラー曲率の局所的積分推定を提示すること。

提案手法

• 点付き多様体列のGromov-Hausdorff収束を用いて、漸近的幾何を分析する。
• ℝⁿから𝕊ⁿへのリプシッツ写像の構成（リプシッツ定数が小さく、次数が非ゼロ）を用い、スカラー曲率の下界のもとで矛盾を導く。
• 球面リプシッツ境界定理を用いて、無限大の注進半径や無限大の体積成長を排除する。
• レイトに沿ったBusemann関数を用いて等高線集合を定義し、点付きGromov-Hausdorff極限を用いてその直径の挙動を分析する。
• ColdingとMinicozziの3次元における単調性公式と曲率比較技術を応用する。
• 局所的積分推定を確立：非負リッチ曲率のもとで、c ≤ conj(M) に対して ∫_{B(p,R−c)} Sc ≤ n(n−1)(π/c)² vol(B(p,R)) が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全で非コンパクトな多様体において、正のスカラー曲率と非負リッチ曲率のもとで、Busemann関数の等高線集合の直径が一様に有界であるか？
• RQ2 正のスカラー曲率と非負リッチ曲率のもとで、完全で非コンパクトな多様体の体積成長が半径のべき乗で上から抑えられるか？
• RQ3 非コンパクトな状況下で、正のスカラー曲率と非負リッチ曲率のもとで、注進半径が一様に有界であるか？
• RQ4 非負リッチ曲率のもとで、体積と共役半径を用いたスカラー曲率の局所的積分に対する上界が存在するか？
• RQ5 スカラー曲率の積分の漸近的挙動が体積成長に対してYauの予想するlimsup条件を満たすか？

主な発見

• 非負リッチ曲率とスカラー曲率 Sc ≥ 2 をもつ3次元完全多様体では、任意のBusemann関数の等高線集合の直径が一様に上界をもつ。
• 正のスカラー曲率と非負リッチ曲率のもとで、体積成長は limsup_{R→∞} vol(B(p,R))/R^{n−1} < ∞ を満たし、高次元では体積成長が非線形的であることを示す。
• 2つのエンドをもつ3次元多様体では、幾何は 𝕊²×ℝ に等長的であり、射影関数の等高線集合の直径は一様に有界である。
• 正のスカラー曲率と非負リッチ曲率のもとで、注進半径は π で上界をもつ。これは、最大注進半径定理を非コンパクトの場合に拡張したものである。
• 非負リッチ曲率のもとで、c ≤ conj(M) に対してすべての c について ∫_{B(p,R−c)} Sc ≤ n(n−1)(π/c)² vol(B(p,R)) が成り立つ局所的推定を証明した。
• リプシッツ写像を用いた背理法により、Sc ≥ n(n−1)、Ric ≥ 0、無限大の注進半径をもつ完全で非コンパクト多様体の存在を排除した。