[論文レビュー] Geometry of q-Hypergeometric Functions, Quantum Affine Algebras and Elliptic Quantum Groups

Vitaly Tarasov, Alexander Varchenko|ArXiv.org|Mar 27, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用数 47

ひとこと要約

本稿は、$U_q({\frak{sl}}_2)$ における三角関数的 qKZ 方程式を解くことによって、q-超幾何関数、量子アフィン代数、楕円的量子群の間の幾何学的・代数的枠組みを確立する。解は、楕円的量子群 $E_{\rho,\gamma}({\frak{sl}}_2)$ 上の評価 Verma 加群のテンソル積を用いて構成され、遷移関数が楕円的 R-行列に対応し、漸近的解が対称 A 型ジャクソン積分に対応することが示され、量子可積分系と特殊関数の間に深い関係が存在することが明らかになる。

ABSTRACT

The trigonometric quantized Knizhnik-Zamolodchikov equation (qKZ equation) associated with the quantum group $U_q(sl_2)$ is a system of linear difference equations with values in a tensor product of $U_q(sl_2)$ Verma modules. We solve the equation in terms of multidimensional $q$-hypergeometric functions and define a natural isomorphism between the space of solutions and the tensor product of the corresponding evaluation Verma modules over the elliptic quantum group $E_{ρ,γ}(sl_2)$, where parameters $ρ$ and $γ$ are related to the parameter $q$ of the quantum group $U_q(sl_2)$ and the step $p$ of the qKZ equation via $p=e^{2\piiρ}$ and $q=e^{-2\piiγ}$. We construct asymptotic solutions associated with suitable asymptotic zones and compute the transition functions between the asymptotic solutions in terms of the dynamical elliptic R-matrices. This description of the transition functions gives a connection between representation theories of the quantum loop algebra $U_q(\widetilde{gl}_2$ and the elliptic quantum group $E_{ρ,γ}(sl_2)$ and is analogous to the Kohno-Drinfeld theorem on the monodromy group of the differential Knizhnik-Zamolodchikov equation. In order to establish these results we construct a discrete Gauss-Manin connection, in particular, a suitable discrete local system, discrete homology and cohomology groups with coefficients in this local system, and identify an associated difference equation with the qKZ equation.

研究の動機と目的

• 三角関数的 qKZ 方程式を $U_q({\frak{sl}}_2)$ に対して表現論的手法を用いて解くこと。
• qKZ 方程式の解と楕円的量子群 $E_{\rho,\gamma}({\frak{sl}}_2)$ 上の加群との間の幾何的対応関係を確立すること。
• 評価 Verma 加群と $p$-周期的関数を用いて、解空間にテンソル座標を定義すること。
• qKZ 方程式の異なる漸近的領域間の遷移関数が楕円的 R-行列およびジャクソン積分の接続行列とどのように関係するかを明らかにすること。
• qKZ 方程式の漸近的解が、対称 A 型ジャクソン積分と一致することを示し、量子可積分性と特殊関数を結びつけること。

提案手法

• 楕円的量子群 $E_{\rho,\gamma}({\frak{sl}}_2)$ 上の評価 Verma 加群のテンソル積を用いて、三角関数的 qKZ 方程式の解を構成する。
• 解空間 $S$ に同型写像を定めるテンソル座標 $\mathbb{C}_\tau$ を導入し、$V^{e}_{\tau_1} \otimes \cdots \otimes V^{e}_{\tau_n} \otimes F$ に写像する。ここで $F$ は $p$-周期的関数の空間である。
• 異なるテンソル座標間の遷移関数 $\mathbb{C}_{\tau,\tau'}$ を、楕円的 R-行列 $R^{\text{ell}}_{V^{e}_l V^{e}_m}(x,\lambda)$ を含む作用素として導出する。
• 隣接置換に対応する遷移関数を、カルタン生成子と $\kappa$-捩れを組み込んだ、ねじれた楕円的 R-行列として表現する。
• 置換 $\tau \in \mathbb{S}^n$ でラベル付けられた漸近的領域 $|z_{\tau_m}/z_{\tau_{m+1}}| \ll 1$ を定義し、各領域における局所的解を構成する。
• 留数計算と帰納法を用いて、超幾何積分の留数の和が、対称 A 型ジャクソン積分に一致することを示し、接続行列と一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、表現論的手法を用いて、$U_q({\frak{sl}}_2)$ における三角関数的 qKZ 方程式の解を体系的に構成できるか？
• RQ2 qKZ 方程式の解空間の幾何学的・代数的構造は何か？ また、楕円的量子群とどのように関係しているか？
• RQ3 qKZ 方程式の異なる漸近的領域間の遷移関数は、どのように楕円的 R-行列に関係するか？
• RQ4 対称 A 型ジャクソン積分の接続行列は、qKZ 方程式の漸近的解からどのように導かれるか？
• RQ5 $p$-周期的関数と評価 Verma 加群は、解空間全体をパラメータ化するために果たす役割は何か？

主な発見

• 三角関数的 qKZ 方程式の解空間は、$F$ を $p$-周期的関数の空間とするとき、$V^{e}_{\tau_1} \otimes \cdots \otimes V^{e}_{\tau_n} \otimes F$ に同型である。
• 異なるテンソル座標系間の遷移関数は、ねじれた楕円的 R-行列によって与えられ、明示的に $R^{\text{ell}}_{V^{e}_l V^{e}_m}(z_{\tau_{m+1}}/z_{\tau_m}, \lambda)$ と $\kappa$-捩れを含む。
• qKZ 方程式の漸近的解間の接続行列は、留数計算により、対称 A 型ジャクソン積分の接続行列と一致する。
• ジャクソン積分のガウス分解は、qKZ 接続の構造と楕円的量子群の性質を通じて実現される。
• 解空間上の超幾何ペアリングは行列式公式として表現され、超幾何的解は多次元超幾何積分によって構成される。
• 領域 $|z_{\tau_m}/z_{\tau_{m+1}}| \ll 1$ における解の漸近的挙動は、留数の和によって支配され、それが対称ジャクソン積分に簡約されることにより、特殊関数との関係が裏付けられる。