[論文レビュー] Geometry of quasi-sum production functions with constant elasticity of substitution property

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2013

Process Optimization and Integration参考文献 10被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、定数代替弾力性（CES）を有する準和生産関数を分類し、そのグラフのガウス＝クロネッカー曲率が恒等的に消える（つまり平坦である）ための必要十分条件を証明している。その条件は、線形同次性を満たす一般化されたACMS関数または線形同次性を満たす一般化されたコブ＝ダウグラス関数であることに限定される。研究は微分幾何学における曲率の性質と経済学的生産関数構造を結びつけ、マイクロエコノミクスの代表的生産モデルに対する微分幾何的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

A production function $f$ is called quasi-sum if there are strict monotone functions $F, h_1,...,h_n$ with $F'>0$ such that $$f(x)= F(h_1 (x_1)+...+h_n (x_n)).$$ The justification for studying quasi-sum production functions is that these functions appear as solutions of the general bisymmetry equation and they are related to the problem of consistent aggregation. In this article, first we present the classification of quasi-sum production functions satisfying the constant elasticity of substitution property. Then we prove that if a quasi-sum production function satisfies the constant elasticity of substitution property, then its graph has vanishing Gauss-Kronecker curvature (or its graph is a flat space) if and only if the production function is either a linearly homogeneous generalized ACMS function or a linearly homogeneous generalized Cobb-Douglas function.

研究の動機と目的

• 準和生産関数のうち、定数代替弾力性（CES）性質を満たすものについて分類すること。
• そのような生産関数のグラフがガウス＝クロネッカー曲率を恒等的に消す幾何的条件を調査すること。
• グラフの幾何的平坦性と生産関数の関数形との間の必要十分条件を確立すること。
• CES性質とグラフの曲率がゼロであるという両条件を満たすのは、線形同次性を満たす一般化されたACMS関数および線形同次性を満たす一般化されたコブ＝ダウグラス関数の2つの特定のクラスに限られることを示すこと。
• 曲率不変量を用いた微分幾何的特徴付けを通じて、基本的な経済生産モデルを同定すること。

提案手法

• 分析は、一般形の準和生産関数 $ f(\mathbf{x}) = F(h_1(x_1) + \cdots + h_n(x_n)) $ から出発する。ここで $ F' > 0 $ であり、各 $ h_i $ は厳密に単調である。
• 定数代替弾力性（CES）性質は、ヘッセ行列に基づく弾力性の公式 $ H_{ij}(\mathbf{x}) = \sigma $ によって課され、これはすべての $ i \neq j $ に対して一定値である。
• 関数 $ f $ のグラフのガウス＝クロネッカー曲率は、ヘッセ行列の行列式と一次微分を用いて計算され、$ F'' $ と $ F' $ を含む曲率条件が得られる。
• ガウス＝クロネッカー曲率をゼロに等置することで、$ F $ に対する微分方程式が導出され、CES制約のもとで解かれる。
• 解は2つの場合について分析される：同次的一般化ACMSおよび同次的一般化コブ＝ダウグラス関数。
• 変数の置換と変換技術を用いて、曲率条件を解ける常微分方程式（ODE）に還元し、$ F $ の明示的な関数形が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数代替弾力性（CES）を満たす準和生産関数のうち、ガウス＝クロネッカー曲率が消えるものはどれか？
• RQ2 準和CES生産関数のグラフに平坦性（ゼロのガウス＝クロネッカー曲率）をもたらす幾何的条件は何か？
• RQ3 CES性質とグラフのゼロ曲率の両方を満たすのは、特定の関数形に限られるのだろうか？
• RQ4 線形同次性を満たす一般化されたACMSおよびコブ＝ダウグラス関数のクラスは、その曲率特性によって一意に特徴付けられるか？
• RQ5 グラフの平坦性は、生産関数が線形同次性を満たす一般化されたACMS関数または線形同次性を満たす一般化されたコブ＝ダウグラス関数であることに等しいのだろうか？

主な発見

• 準和生産関数のグラフがガウス＝クロネッカー曲率を恒等的に消すための必要十分条件は、$ f(\mathbf{x}) = \gamma \left( \sum_{i=1}^n a_i^\rho x_i^\rho \right)^{1/\rho} $ の形をした線形同次性を満たす一般化されたACMS関数であること。ここで $ \gamma, a_i, \rho \neq 0 $ である。
• 準和生産関数のグラフがガウス＝クロネッカー曲率を恒等的に消すための必要十分条件は、$ f(\mathbf{x}) = \gamma x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n} $ の形をした線形同次性を満たす一般化されたコブ＝ダウグラス関数であること。ここで $ \sum_{i=1}^n \alpha_i = 1 $ かつ $ \gamma, \alpha_i \neq 0 $ である。
• 2入力の準和関数 $ f = F(x_2/x_1) $ の場合、$ F' = 0 $ でない限りガウス＝クロネッカー曲率はゼロにならないが、これは $ F $ の厳密単調性に反するため、このような関数は平坦性条件から除外される。
• 曲率条件から導かれる微分方程式 $ F'(u) = (\sigma - 1)u F''(u) $ は、べき則解 $ F(u) = \alpha u^{\sigma/(\sigma-1)} $ を与え、一般化されたACMS形を特徴付ける。
• 一般化されたコブ＝ダウグラスの場合、曲率条件は $ F'(u) = \gamma u^{1/\alpha - 1} $ を導き、$ f(\mathbf{x}) = \gamma (x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n})^{1/\alpha} $ となる。$ \sum \alpha_i = 1 $ のとき、これは線形同次形に簡略化される。
• 逆に、線形同次性を満たす一般化されたACMSおよび一般化されたコブ＝ダウグラス関数は、すべてのグラフが平坦であることが確認され、特徴付けが裏付けられる。