[論文レビュー] Geometry of representation spaces in SU(2)

Julien Marché|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ねじれコホロロジー、ゲージ理論、そしてチチェン＝シモンズ理論を用いて、表面および3次元多様体のSU(2)表現空間の微分幾何およびシンプレクティック幾何を展開する。ボル＝ゾンマーフェルト軌道とミタプレクティック補正を用いたモジュライ空間の幾何学的量子化を構成し、量子クリービッチ＝ゴルダン条件が量子化されたヒルベルト空間をパラメータ化することを導出し、コンフォーマル場理論およびTQFTと関連付ける。

ABSTRACT

These notes of a course given at IRMA in April 2009 cover some aspects of the representation theory of fundamental groups of manifolds of dimension at most 3 in compact Lie groups, mainly $\\su$. We give detailed examples, develop the techniques of twisted cohomology and gauge theory. We review Chern-Simons theory and describe an integrable system for the representation space of a surface. Finally, we explain some basic ideas on geometric quantization. We apply them to the case of representation spaces by computing Bohr-Sommerfeld orbits with metaplectic correction.

研究の動機と目的

• ねじれコホロロジーとゲージ理論を用いて、表面および3次元多様体のSU(2)表現空間の幾何的枠組みを構築すること。
• チチェン＝シモンズ理論を用いて、表面の平坦なSU(2)接続のモジュライ空間のシンプレクティック構造を記述すること。
• ラグランジュ被覆とミタプレクティック補正を用いて、モジュライ空間の幾何学的量子化を構成すること。
• モジュライ空間内のボル＝ゾンマーフェルト軌道を同定し、クリービッチ＝ゴルダン条件を介して量子不変量と関連付けること。
• 幾何学的量子化とコンフォーマルブロックおよびリンク多項式を結びつけることで、トポロジカル量子場理論（TQFT）の基礎を築くこと。

提案手法

• 基本群の随伴表現を係数とするコホロロジーを用いて、表現空間の接空間をねじれコホロロジーにより分析する。
• ゲージ理論を用いて、主SU(2)-バンドル上の平坦接続をチチェン＝シモンズ汎関数の臨界点として解釈する。
• チチェン＝シモンズ汎関数とそのホロノミー性質を用いて、モジュライ空間上にプリクォーラム線束を構成する。
• 表面のパンツ分解に関連するトレース関数を用いて、モジュライ空間上にラグランジュ被覆を定義する。
• ボル＝ゾンマーフェルト葉の同定と半形式バンドルの計算を介して、ミタプレクティック補正を伴う幾何学的量子化を実装する。
• フレームバンドル内の経路のホロノミーを計算して、ミタプレクティック構造を特定し、量子化状態を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦なSU(2)接続のモジュライ空間は、ねじれコホロロジーとゲージ理論的手法を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 表面の表現空間のシンプレクティック構造は何か？ そして、チチェン＝シモンズ理論からどのように生じるか？
• RQ3 幾何学的量子化とミタプレクティック補正の下で、モジュライ空間内のどのラグランジュ部分多様体がボル＝ゾンマーフェルト軌道に対応するか？
• RQ4 量子クリービッチ＝ゴルダン条件は、表面の位相的・幾何的データからどのように導かれるか？
• RQ5 モジュライ空間の幾何学的量子化は、ヴェルリンドの公式とBKSペアリングを介してTQFTおよびコンフォーマル場理論と関連づけられるか？

主な発見

• genus g ≥ 2 の表面における平坦なSU(2)接続のモジュライ空間は、パンツ分解に関連するトレース関数を用いてラグランジュ被覆を持つ。
• モジュライ空間内のボル＝ゾンマーフェルト軌道は、条件 σi ≤ σj + σk、σi + σj + σk が奇数、σi + σj + σk ≤ 2K を満たす σi ∈ [1, K−1] の組 (σiπ/K)i∈I でパラメータ化される。
• モジュライ空間の幾何学的量子化により得られるヒルベルト空間は有限次元であり、その次元はヴェルリンドの公式と一致し、コンフォーマル場理論との整合性を裏付けている。
• ミタプレクティック補正は、正しく量子化状態を同定するために不可欠であり、ホロノミー計算によりGL(C1)内の経路が非自明であることが示され、メタライン形式の非自明性が確認された。
• チチェン＝シモンズ汎関数を用いたプリクォーラムバンドルの構成は、リードマイスター捩れと平坦幾何と関連する自然な接続を提供する。
• 異なるパンツ分解から得られる量子化の間のBKSペアリングは、ユニタリ同型写像であると予想され、幾何学的量子化の背後にある一貫性のあるTQFT構造を示唆している。