[論文レビュー] Geometry of second adjointness for p-adic groups

Roman Bezrukavnikov, David Kazhdan|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、万全のコンパクト化と境界ストラトゥムの漸近幾何を用いて、再帰的 $p$-進群における第二随伴性の幾何的証明を提示する。関数空間上の $G \times G$-多様体間の共特化写像を導入し、それをオリスフィック変換と逆相互作用作用素を介して実現し、可換ヘッケ部分代数上でプランシュレル型の公式を導出する。これはオプダムの結果を一般化する。

ABSTRACT

We present a geometric proof of Bernstein's second adjointness for a reductive $p$-adic group. Our approach is based on geometry of the wonderful compactification and related varieties. Considering asymptotic behavior of a function on the group in a neighborhood of a boundary stratum of the compactification, we get a "co-specialization" map between spaces of functions on various varieties with $G imes G$ action. These maps can be viewed as maps of bimodules for the Hecke algebra, and the corresponding natural transformations of functors lead to the second adjointness. We also get a formula for the "co-specialization" map expressing it as a composition of the orishperic transform and inverse intertwining operator; a parallel result for $D$-modules was obtained in arXiv:0902.1493. As a byproduct we obtain a formula for the Plancherel functional restricted to a certain commutative subalgebra in the Hecke algebra, generalizing a result by Opdam.

研究の動機と目的

• 再帰的 $p$-進群の表現論における第二随伴性の幾何的解釈を提供すること。
• 万全のコンパクト化の境界ストラトゥムに近接する漸近的挙動に由来する $G \times G$-多様体上の関数空間間の共特化写像を構成し、特徴づけること。
• この共特化写像をオリスフィック変換と逆相互作用作用素を用いて明示的に表現すること。
• ヘッケ代数の可換部分代数に制限されたプランシュレル汎関数に対する公式を導出すること。これはオプダムの結果を一般化する。

提案手法

• 再帰的 $p$-進群 $G$ の De Concini-Procesi の万全のコンパクト化を用い、境界における $G \times G$-軌道に近接する漸近的挙動を研究する。
• 関数空間 $X$ から $G$ への共特化写像 $\mathsf{B}$ を定義し、$G \times G$-等変かつ恒等写像に漸近するものとして特徴づける。
• コンパクト化内のストラトゥムへの正規バンドルへの写像を用い、関数の漸近的転送の形式的枠組みを通じて写像 $\mathsf{B}$ を構成する。
• $\mathsf{B}$ をオリスフィック変換と逆相互作用作用素の合成として表現し、第二随伴性の幾何的実現を確立する。
• この形式的枠組みを用いて、ヘッケ代数の可換部分代数上でプランシュレル汎関数を計算し、オプダムの公式を拡張する。
• トーリック被覆と準正規コーンを用い、コンパクト化の局所幾何を分析し、ストラトゥム付近での良好な構造を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラボリック誘導とジャケット関手の $p$-進表現論における第二随伴性は、コンパクト化を用いてどのように幾何的に理解できるか？
• RQ2 第二随伴性を引き起こす共特化写像の明示的幾何的構成は何か？
• RQ3 この共特化写像は、オリスフィック変換や相互作用作用素といった既知の積分変換を用いてどのように表現できるか？
• RQ4 万全のコンパクト化とその境界ストラトゥムは、ヘッケ代数の二重加群を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 この幾何的枠組みを用いて、ヘッケ代数の可換部分代数上でプランシュレル汎関数を明示的に計算できるか？

主な発見

• 共特化写像 $\mathsf{B}$ は、関数上の恒等写像の $G \times G$-等変な漸近的拡張として一意に特徴づけられ、第二随伴性の幾何的実現を確立する。
• $\mathsf{B}$ はオリスフィック変換と逆相互作用作用素の合成として明示的に実現され、第二随伴性同型写像の幾何的公式を提供する。
• この構成により、万全のコンパクト化およびその境界ストラトゥムの幾何に内在する第二随伴性の新しい証明が得られる。
• プランシュレル汎関数の制限に対して、ヘッケ代数の可換部分代数上でプランシュレル型の公式が導出され、オプダムの結果を一般化する。
• トーリック被覆と準正規コーンの形式的枠組みにより、コンパクト化されたストラトゥムが良好に扱えることが保証され、局所幾何を用いた共特化写像の構成が可能になる。
• 共特化写像は、滑らかな表現の圏上の自己函手の自然変換を誘導し、関手レベルで第二随伴性を実現する。