[論文レビュー] Geometry of symmetric determinantal loci

Shinobu Hosono, Hiromichi Takagi|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、対称的行列式的局所 $σ_r \subset \mathbb{P}(\mathsf{S}^2 V^*)$ 及び偶数 $r$ に対するその二重被覆 $\mathcal{T}_r$ の代数幾何的性質を研究し、$\mathcal{T}_r$ が次元 $\frac{(2n+3-r)r - 2}{2}$、ピカール数 1、ファノ指数 $\frac{r(n+1)}{2}$ である $\mathbb{Q}$-因子的ファノ多様体であり、Canonical 特異点のみを有することを確立している。さらに、$\mathcal{T}_4$ と $\mathrm{G}(n-1,V)$ 内の円錐曲線のヒルベルト汎在の間の双有理同値性を、フラップおよび収縮の系列を通じて示している。

ABSTRACT

We study algebro-geometric properties of determinantal loci of (n+1)th symmetric matrices and also their double covers for even ranks. Their singularities, Fano indices and birational geometries are studied in general. The double covers of symmetric determinantal loci of rank four are studied with special interest by noting their relation to the Hilbert schemes of conics on Grassmannians.

研究の動機と目的

• 対称的行列式的局所 $\sigma_r$ 及び偶数 $r$ に対するその二重被覆 $\mathcal{T}_r$ の基礎的代数幾何的性質を確立すること。
• 最小モデルプログラムの技法を用いて、一般の $n$ に対して $\sigma_r$ 及び $\mathcal{T}_r$ の特異点、ファノ指数、双有理幾何を分析すること。
• $\sigma_4$ の二重被覆 $\mathcal{T}_4$ と $\mathrm{G}(n-1,V)$ 内の円錐曲線のヒルベルト汎在との関係を明確にすること、特に $n \geq 4$ の場合に注目する。
• ホモロジカルプロジェクト型双対性 (HPD) における $\sigma^*_{n+2-r}$ と $\mathcal{T}_r$ 間の幾何的枠組みを提供し、既知の Calabi-Yau 対を一般化すること。
• 以降の $\sigma^*_2$ 及び $\mathcal{T}_4$ に関する導来カテゴリの計算のための代数幾何的土台を築くこと。

提案手法

• $\sigma_r \subset \mathbb{P}(\mathsf{S}^2 V^*)$ を、$(n+1)\times(n+1)$ 対称行列で階数が $r$ 以下であるものの集合として定義し、$(r+1)\times(r+1)$ ミノルを用いて切出される。
• $\sigma_{r-1}$ を分岐超曲面とする二重被覆 $\mathcal{T}_r \to \sigma_r$ を構成し、それがピカール数 1 の $\mathbb{Q}$-因子的ファノ多様体であることを示す。
• 階数 4 の二次形式における $(n-2)$-次元平面の幾何を用いて、$\mathcal{T}_4$ を $\mathrm{G}(n-1,V)$ 内の円錐曲線のヒルベルト汎在と、$\wedge^{n-1}V$ 内の 3 次元平面に対応付けることで同定する。
• $\mathcal{Y}_3 = \mathrm{G}(3, \wedge^2 \mathfrak{Q})$、$\widetilde{\mathcal{Y}}$、$\overline{\mathcal{Y}}'$ を含む双有理写像の可換図式を確立し、$\mathcal{Y}_3 \to \overline{\mathcal{Y}}'$ は $\mathbb{P}^{n-3}$ ファイバーを持つ小さな収縮であることを示す。
• 最小モデルプログラムを適用し、$\mathcal{Y}_3 \dashrightarrow \widetilde{\mathcal{Y}}$ がこの小さな収縮を解消する (反) フラップであることを示す。
• プレイカー座標および対称行列の分解を用いて、$\mathbb{P}(\mathsf{S}^2 V_4 \oplus \mathsf{S}^2 V_4^*)$ 上の $[v_{ij}, w_{kl}]$ を $\mathbb{P}(\wedge^3(\wedge^2 V_4))$ 上の $p_{IJK}$ に結びつけ、既約分解を用いてプレイカーイデアルを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数 $r$ に対して、対称的行列式的局所 $\sigma_r$ 及びその二重被覆 $\mathcal{T}_r$ の特異点、ファノ指数、双有理幾何は何か？
• RQ2 $\sigma_4$ の二重被覆 $\mathcal{T}_4$ は $\mathrm{G}(n-1,V)$ 内の円錐曲線のヒルベルト汎在とどのように関係しているか？
• RQ3 $\mathcal{T}_4$ の双有理幾何はフラップおよび収縮の系列によって記述可能か？ その結果得られる多様体の構造は何か？
• RQ4 プレイカー座標 $p_{IJK}$ と対称行列 $v$、$w$ の成分との間の正確な代数的関係は何か？
• RQ5 $\sigma^*_{n+2-r}$ と $\mathcal{T}_r$ 間の双対性はホモロジカルプロジェクト型双対性 (HPD) の条件を満たすか？ また、既知の Calabi-Yau 対をどのように一般化するか？

主な発見

• $\mathcal{T}_r$ は次元 $\frac{(2n+3-r)r - 2}{2}$、ピカール数 1、ファノ指数 $\frac{r(n+1)}{2}$ である $\mathbb{Q}$-因子的ファノ多様体であり、Canonical 特異点のみを有する。
• 二重被覆 $\mathcal{T}_4$ は、ヒルベルト汎在 $\mathcal{Y}_0$ と双有理同値であり、小さな収縮 $\mathcal{Y}_3 \to \overline{\mathcal{Y}}'$ と (反) フラップ $\mathcal{Y}_3 \dashrightarrow \widetilde{\mathcal{Y}}$ を含む可換図式が存在する。
• 小さな収縮 $\mathcal{Y}_3 \to \overline{\mathcal{Y}}'$ は非自明なファイバー $\mathbb{P}^{n-3}$ を持ち、(反) フラップがこの特異点を解消する。
• $\mathrm{G}(3,6)$ のプレイカーイデアル $I_G$ は、関係式 $|v_{IJ}| - \epsilon_{I\check{I}}\epsilon_{J\check{J}}|w_{\check{I}\check{J}}|$ および $v.w - d\cdot \mathrm{id}_4$ の成分から生成され、$d^2 = \det w$ を満たす。
• $\det v = \det w$ であり、$v.w = \pm \sqrt{\det w} \cdot \mathrm{id}_4$ が成り立つ。これは $\mathrm{rk}\,v \neq 3$ および $\mathrm{rk}\,w \neq 3$ を意味し、$\mathrm{rk}\,v = 2$ であることと $\mathrm{rk}\,w = 2$ であることが同値であることを示唆する。
• 対称行列の分解により、$v_{ij}$ および $w_{kl}$ は反対称添え字を持つ $p_{IJK}$ の和として表現可能であり、逆関係を用いることでプレイカー関係式が $v$ および $w$ の言語で書き表せる。