[論文レビュー] Geometry of symplectic intersections

Paul Biran|ArXiv.org|Apr 18, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアンアイソトピーによるラグランジュ部分多様体の分離に関する位相的障害に焦点を当て、シンプレクティック交差現象を概説する。コタンジェントバンドル内の正確ラグランジュ部分多様体はゼロ切断と互いに交わらなければならないことが示され、これらのシンプレクティック制約は、消滅サイクルと射影的多様体の退化を通じて代数幾何学と結びつけられる。

ABSTRACT

In this paper we survey several intersection and non-intersection phenomena appearing in the realm of symplectic topology. We discuss their implications and finally outline some new relations of the subject to algebraic geometry.

研究の動機と目的

• ハミルトニアンアイソトピーおよびフロアホモロジーに起因する基本的なシンプレクティック交差現象を概説すること。
• 非交差現象、特にラグランジュ部分多様体のフロアホモロジーの消滅とその位相的含意を調査すること。
• 特に孤立特異点をもつ代数的多様体の退化の文脈において、シンプレクティック位相と代数幾何学の間の関係を確立すること。
• シンプレクティック不変量を用いて、ラグランジュ部分多様体および射影的多様体の位相的制限を導出すること。
• 特に二次曲面などのハイパーサーフェスを含む代数的多様体に、互いに交わらないラグランジュ球をいくつ埋め込めるかを調査すること。

提案手法

• グロモフの擬正則曲線技法を用いて、シンプレクティック多様体における交差定理を証明する。
• フロアホモロジーを用いて非自明な交差を検出するとともに、ラグランジュ部分多様体の位相を分析する。
• モーザーの議論を応用し、ケーラー多様体の退化における消滅サイクルからラグランジュ球を構成する。
• 体積およびシンプレクティックパッキング障害（例えば、グロモフの非圧縮性およびボールパッキング定理）を適用して、交差制約を導出する。
• ベッチ数の上限とホモロジー代数を用いて、シンプレクティック不変量とラグランジュの位相的不変量との関係を関係づける。
• コタンジェントバンドルの構造と標準的シンプレクティック形式を活用して、正確ラグランジュ交差定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉多様体のコタンジェントバンドル内の正確ラグランジュ部分多様体がハミルトニアンアイソトピーによって分離できない位相的障害は何か？
• RQ2 フロアホモロジーなどのシンプレクティック不変量は、ラグランジュ部分多様体間の交差の有無をどのように検出するか？
• RQ3 シンプレクティック位相は、特に孤立特異点をもつ退化において、代数的多様体の位相にどのような制限を課えるか？
• RQ4 与えられた代数的多様体（例えば、二次曲面ハイパーサーフェスなど）に埋め込める、互いに交わらないラグランジュ球の最大数は何か？
• RQ5 古典的代数幾何学では検出できないが、シンプレクティック手法によって検出可能な、射影的多様体の退化に対する障害は存在するか？

主な発見

• 閉多様体のコタンジェントバンドル内の任意の正確ラグランジュ部分多様体はゼロ切断と交わらなければならない。また、そのハミルトニアン像も同様にゼロ切断と交わらなければならない。
• $T^*X$ においてゼロ切断にハミルトニアンアイソトープであるラグランジュ部分多様体は、ゼロ切断と横断的交差する回数が、$X$ のベッチ数の和以上にあらねばならない。
• シンプレクティックアイソトピーでは、交差定理は成り立たない。これは $T^n$ における反例によって示される。
• 次元4において、$B^4(1)$ や $\mathbb{C}P^2$ に半径 $R$ の $N$ 個のシンプレクティックボールが存在するとき、$R^2$ が以下の閾値を超えると交わらなければならない：$N=2,3$ の場合 $1/2$、$N=5,6$ の場合 $2/5$、$N=7$ の場合 $3/8$、$N=8$ の場合 $6/17$。
• $\mathbb{C}P^n$（$n \geq 2$）または $\mathbb{C}P^n \times M$（$\pi_2(M)=0$ かつ $\dim_{\mathbb{C}}M \not\equiv n+1 \pmod{n+1}$）にはラグランジュ球は存在せず、これはそのような多様体が孤立特異点をもつケーラー的退化をもたないことを示唆する。
• 二次曲面 $Q \subset \mathbb{C}P^{n+1}$（$n \geq 2$）に対して、孤立特異点をもつ特異ファイバーへの退化において、最大で1つの特異点しか持てないという予想が立てられており、これはラグランジュ球の交差に関するシンプレクティック的証拠によって裏付けられている。