[論文レビュー] Geometry of the Borel -- de Siebenthal Discrete Series

Bent Ørsted, Joseph A. Wolf|ArXiv.org|Jan 28, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、コンpact Cartan部分群を備えた非ヘルミート型の実単純リー群に対して、余随伴軌道、全純ベクトル束、およびコホモロジーを用いて、Borel–de Siebenthal離散系列表現の幾何的構成を実行する。$K_0$-型の完全な分解が得られ、$K_1$-適応性が証明され、複素微分幾何学とスペクトル系列を用いて、全純およびクaternion的離散系列の場合の結果が拡張される。

ABSTRACT

Let $G_0$ be a connected, simply connected real simple Lie group. Suppose that $G_0$ has a compact Cartan subgroup $T_0$, so it has discrete series representations. Relative to $T_0$ there is a distinguished positive root system $Δ^+$ for which there is a unique noncompact simple root $ν$, the "Borel -- de Siebenthal system". There is a lot of fascinating geometry associated to the corresponding "Borel -- de Siebenthal discrete series" representations of $G_0$. In this paper we explore some of those geometric aspects and we work out the $K_0$--spectra of the Borel -- de Siebenthal discrete series representations. This has already been carried out in detail for the case where the associated symmetric space $G_0/K_0$ is of hermitian type, i.e. where $ν$ has coefficient 1 in the maximal root $μ$, so we assume that the group $G_0$ is not of hermitian type, in other words that $ν$ has coefficient 2 in $μ$. \medskip Several authors have studied the case where $G_0/K_0$ is a quaternionic symmetric space and the inducing holomorphic vector bundle is a line bundle. That is the case where $μ$ is orthogonal to the compact simple roots and the inducing representation is 1--dimensional.

研究の動機と目的

• 離散系列表現の幾何的および表現論的理解を、全純およびクaternion的ケースにとどまらず拡張すること。
• 非ヘルミート型の群に対して、Borel–de Siebenthal離散系列の幾何的構成を、余随伴軌道と全純ベクトル束を用いて行うこと、ここで非コンパクトな単純根の係数が最大根において2である。
• コホモロジー的手段と複素フラッグ多様体上の全純ベクトル束を用いて、これらの表現の$K_0$-スペクトルを計算すること。
• 小さな部分群$K_1 \subset K_0$に対する$K_1$-適応性を確立し、全純離散系列と類似した取り扱いやすい分岐則が得られることを可能にすること。
• 楕円的余随伴軌道の構造を、複素フラッグ多様体における開$G_0$-軌道として分類し、最大コンパクト部分多様体および全純正規束の明示的記述を行うこと。

提案手法

• 複素微分幾何学とコホモロジー群を用いて、表現を複素フラッグ多様体上のベクトル束の全純切断の空間として実現する。
• 楕円的余随伴軌道の幾何を、複素フラッグ多様体における開$G_0$-軌道として分析し、その最大コンパクト部分多様体がコンパクトヒルベルト対称空間であることを特定する。
• スペクトル系列の議論を適用してコホモロジー群を計算し、誘導表現における$K$-有限ベクトルを用いて$K_0$-型を同定する。
• 相対不変量を有する前置型ベクトル空間の理論を用いて、余随伴軌道およびその正規束の構造を記述する。
• 公式 $\dim(V_{\delta}^* \otimes M)^{Q \cap K}$ を用い、ここで$M = S^m(V^*)$ かつ $m \in \mathbb{N}$ であるが、分解を計算する。
• EastwoodとWolfによる有限次元表現の双対に関する結果を応用し、系列のコホモロジー的実現を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ヘルミート型の群に対して、余随伴軌道と全純ベクトル束を用いて、Borel–de Siebenthal離散系列表現をどのように幾何的に構成できるか？
• RQ2 Borel–de Siebenthal離散系列の完全な$K_0$-型分解は何か？ また、全純離散系列と比べてどう異なるか？
• RQ3 これらの表現に関連する余随伴軌道の最大コンパクト部分多様体および全純正規束の構造は何か？
• RQ4 $K_1$-適応性はどのように生じるのか？ また、部分群への分岐則に何を意味するのか？
• RQ5 前置型ベクトル空間の相対不変量は、系列の継続性および特異的挙動において果たす役割は何か？

主な発見

• Borel–de Siebenthal離散系列の$K_0$-型は、$Y$ を最大コンパクト部分多様体とするとき、コホモロジー群 $H^s(Y, \mathcal{O}(\mathbb{L}_{-k}))$ を通じて完全に記述される。
• 最小の$K_0$-型の最高ウェイトは $\Lambda = -k\nu^* + 2\rho_{\mathfrak{k}/\mathfrak{l}}$ であり、スカラークォaternion的ケースの無限小特性方程式と一致する。
• 表現は、小さな部分群 $K_1 \subset K_0$ に対して$K_1$-適応的であり、各$K_1$-型は有限重複度をもつ。
• 余随伴軌道は、複素フラッグ多様体における開$G_0$-軌道であり、最大コンパクト部分多様体はコンパクトヒルベルト対称空間である。
• 最大コンパクト部分多様体への全純正規束は、相対不変量を有する前置型ベクトル空間であり、系列の継続性を理解する上で重要である。
• 型$D_8$の$K$を有する$E_8$に対して、正規束の次元は64であり、次数8の相対不変量を有するため、豊かな幾何的構造を示している。