[論文レビュー] Geometry of the mapping class groups III: Quasi-isometric rigidity

Ursula Hamenstaedt|ArXiv.org|Dec 18, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、非特異的曲面の写像類群について、準等長的剛性を確立し、任意の有限生成群が写像類群に準等長的であるならば、その核と像がともに有限であるような、写像類群にほぼ全射する準同型が存在することを証明する。トレイン・トラック複体と漸近的コーンの幾何を用いて、漸近的コーンの幾何的ランクとホモロジー次元が両方とも $3g-3+m$ に等しいことを示し、BehrstockとMinskyの予想を裏付ける。

ABSTRACT

Let S be an oriented surface of finite type of genus g with m punctures and where 3g-3+m>1. We show that the mapping class group M(S) of S is quasi-isometrically rigid. We also give a different proof of the following result of Behrstock and Minsky: The homological dimension of the asmyptotic cone of M(S) of S equals 3g-3+m.

研究の動機と目的

• 非特異的曲面の写像類群についての準等長的剛性を確立すること。
• 任意の有限生成群が写像類群に準等長的であるならば、その核と像がともに有限であるような、写像類群へのほぼ全射準同型が存在することを証明すること。
• 写像類群の漸近的コーンの幾何的ランクとホモロジー次元が $3g-3+m$ に等しいことを確認すること。
• Behrstock-Minskyによる漸近的コーンのホモロジー次元に関する結果の新しい証明を提供すること。

提案手法

• 写像類群の準等長的モデルとしてトレイン・トラック複体を分析する。
• トレイン・トラック複体におけるフラットストリップ射影と準凸二重結合を用いて、大規模幾何を制御する。
• 超限極限と漸近的コーンを用いて、写像類群の大規模構造を研究する。
• 漸近的コーン内に次元 $3g-3+m$ の一様に準等長的に埋め込まれたユークリッド空間を構成する。
• CAT(0)幾何と漸近的コーン内のフラットの理論を応用し、部屋構造と境界挙動を分析する。
• 超限極限における測地線の系列とフラットストリップを用いた背理法により、漸近的コーン内での近傍包含関係を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限生成群が写像類群に準等長的であるならば、その核と像がともに有限であるような写像類群へのほぼ全射準同型が存在するか？
• RQ2 写像類群の幾何的ランクは何か？また、それは $3g-3+m$ に等しいか？
• RQ3 写像類群の漸近的コーンのホモロジー次元は何か？
• RQ4 トレイン・トラック複体内のフラットストリップと準フラットは、写像類群の大規模幾何をどのように反映するか？
• RQ5 写像類群の漸近的コーンは、幾何が制御されたアパルトヘッドと部屋を用いて記述可能か？

主な発見

• 任意の有限生成群が写像類群 ${\cal M}(S)$ に準等長的であるならば、${\cal M}(S)$ への準同型が存在し、その核と像はともに有限である。
• ${\cal M}(S)$ の幾何的ランクは正確に $3g-3+m$ であり、その漸近的コーンのホモロジー次元と一致する。
• ${\cal M}(S)$ の任意の漸近的コーンのホモロジー次元は $3g-3+m$ に等しく、BehrstockとMinskyの結果を裏付ける。
• ${\cal M}(S)$ の漸近的コーンには、次元 $3g-3+m$ の一様に準等長的に埋め込まれたユークリッド空間が含まれており、それらは断片化されたアパルトヘッドに含まれる。
• 漸近的コーンは、部屋とアパルトヘッドの和集合としての構造を持ち、フラットストリップは、一意的な正則部屋に含まれる半直線と交わる。
• 漸近的コーン内に一様に準等長的に埋め込まれた $\mathbb{R}^{3g-3+m}$ は、常にコーン内の断片化されたアパルトヘッドの有界近傍内に含まれる。