[論文レビュー] Geometry of the moduli space of Higgs bundles

Tamás Hausel|ArXiv.org|Jul 5, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、ゲージ理論、シンプレクティック幾何学、等長位相幾何学を用いて、リーマン面上のヒッグス束のモジュライ空間の幾何とコhomologyを調査する。シンプレクティックカットとケーラー商を用いてモジュライ空間のコンパクト化を構成し、無限大レベルのコンパクト化の有理コhomologyがゲージ群の分類空間のコhomologyと同型であることを証明する。これにより、コンパクト化されたモジュライ空間と分類空間との間のホモトピー同値性が支持される。

ABSTRACT

This thesis contains work which appeared in several papers. Additionally to the results in the papers it contains a detailed introduction and some further proofs and remarks. The dissertation gives a description of the topology and symplectic and algebraic geometry of Hitchin's hyperkaehler moduli space M of rank 2 Higgs bundles with fixed determinant of odd degree over a fixed Riemann surface. After the long introduction it describes a compactification of M in great detail, using symplectic cutting (math.AG/9804083). Examining the downward Morse flow of a natural circle action on M it shows the vanishing of intersection numbers (math.AG/9805071). Examining the upward Morse flow it explains a set of generators of the cohomology ring and a conjectured explicit description of the cohomology ring (which was proven in math.AG/0003094). Then finally it introduces the resolution tower for M, and shows that its direct limit is homotopically equivalent with the classifying space of the gauge group. In turn it yields another proof of the generation theorem (as in math.AG/0003093) and also yields a purely algebraic geometric proof of the Mumford conjecture about the cohomology ring of the moduli space of rank 2 stable bundles on curves. It finishes by proving homotopy stabilizations in the resolution tower analogously to the Atiyah-Jones conjecture.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン面上のヒッグス束のモジュライ空間のグローバルな幾何と位相を理解すること。
• シンプレクティック幾何学および代数幾何学的手法を用いて、モジュライ空間の自然なコンパクト化を構成すること。
• コンパクト化されたモジュライ空間の有理コhomology環を計算し、ゲージ群の分類空間のコhomologyと関連付けること。
• 無限大レベルのコンパクト化されたモジュライ空間とゲージ群の分類空間との間のホモトピー同値性を確立すること。

提案手法

• モジュライ空間上の ${\mathbb{C}}^{*}$-作用を用いて、ミオメント写像によるストラティフィケーションを定義し、シンプレクティックカット技法を適用する。
• 等長位相コhomologyと仮想ディラックバンドルを用いて、コhomology環内の関係を計算する。
• コンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}$ を、ノエルポテンシャルコーンの補集合を ${\mathbb{C}}^{*}$-作用で割ったものとして構成する。
• 最高レベルのケーラー商 $Z$ を用いて、コンパクト化された空間のコhomologyを分析する。
• ヒッグス $k$-束の解体塔 $\widetilde{\mathcal{M}}_k$ を導入し、直和極限を取って $\widetilde{\mathcal{M}}_\infty$ を定義する。
• ねじれの問題を避けるためにホモトピー商を用い、$\widetilde{Z}_\infty^\prime$、$\overline{\mathcal{M}}_\infty^\prime$、$({\widetilde{\mathcal{M}}}_\infty)_{U(1)}$ 間のホモトピー同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒッグス束のモジュライ空間のコhomology環の構造は何か。また、それを明示的に記述できるか？
• RQ2 ヒッグス束のモジュライ空間を幾何的に意味のある方法でコンパクト化できるか？
• RQ3 コンパクト化されたモジュライ空間のコhomologyとゲージ群の分類空間のコhomologyとの関係は何か？
• RQ4 ヒッグス束のモジュライ空間の無限大レベルコンパクト化は、ゲージ群の分類空間とホモトピー同値か？

主な発見

• 最高レベルのケーラー商 $Z$ の有理コhomologyは、モジュライ空間のコンパクト-suppotされた等長位相コhomologyの像による、通常の等長位相コhomologyの商と同型である。
• $Z$ のコhomology環は、$c_1(L_Z)$ の倍数であるか、あるいはモジュライ空間の等長位相コhomology内の関係に対応する関係を満たす。
• $\widetilde{Z}_\infty$ の有理コhomologyは、ユニバーサルクラスと $c_1(L_{\widetilde{Z}_\infty})$ で生成される自由な可換な次数付き代数であるため、$H^*(B\mathcal{G})$ と同型であることが示唆される。
• $\widetilde{Z}_\infty$ のペオナーリー多項式は、これらの生成子による自由な可換な次数付き代数のものと一致し、コhomology環の自由性が確認される。
• $\widetilde{Z}_\infty^\prime$ と $\overline{\mathcal{M}}_\infty^\prime$ のホモトピー型は、$U(1)$ によるホモトピー商 $({\widetilde{\mathcal{M}}}_\infty)_{U(1)}$ と同値である。
• 本稿は、ホモトピー同値性 $\overline{\mathcal{M}}_\infty \sim \widetilde{Z}_\infty \sim B\mathcal{G}$ を予想し、その証拠を提供する。これにより、コンパクト化されたモジュライ空間とゲージ群の分類空間が結びつけられる。